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Mouvement dans un champ uniforme

Qu'est-ce qu'un champ uniforme ? On connaît tous cela intuitivement car chacun d'entre nous vit au quotidien en présence d'un champ uniforme. En effet, à la surface de la Terre, il y a partout et toujours un champ de pesanteur dirigé vers le bas avec la même intensité \( g = 9{,}81 \; N . kg^{-1} \). On ressent ce champ notamment quand on doit s'y opposer pour se lever de sa chaise ou de son lit, et pour monter les marches d'un escalier. C'est ce même champ qui nous entraîne de plus en plus vite à vélo ou en trottinette le long d'une pente descendante. C'est aussi ce champ qui fait tomber les objets au sol comme le ballon que j'ai lancé dans les airs ou le téléphone que j'ai lâché par mégarde.

Les situations où la pesanteur se fait ressentir abondent. À l'inverse, celles où la pesanteur n'est pas ressentie normalement sont très rares. Mais, cela peut arriver tout de même, par exemple, lors d'un vol en avion. Au moment de décoller, l'avion commence à monter de plus en plus vite dans les airs et on ressent cela comme si la pesanteur était accrue : on s'enfonce dans nos sièges. Ensuite, l'avion continue de monter, mais à vitesse à peu près constante, et alors la pesanteur revient à la normale. Enfin, au moment d'atteindre une altitude stable, l'avion cesse de monter et pendant un bref instant, on ressent une sensation d'apesanteur, ce qui arrive également lorsque l'avion commence tout juste à redescendre. Les mêmes sensations d'apesanteur et de pesanteur accrue se retrouvent dans les ascenseurs et les montagnes russes. On peut aussi mentionner les moments où l'on nage à la piscine et à la mer, car dans ces moments-là où l'eau nous porte grâce à la poussée d'Archimède, on ressent moins la pesanteur.

Mis à part ces cas particuliers où la sensation de pesanteur est anormale, toute notre expérience de vit sur Terre se fait dans un champ uniforme. Dans cet article, nous allons reprendre la notion de champ, et en plus du champ de pesanteur, nous parlerons également du mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme.

Mouvement dans un champ uniforme, vol d'un avion, StudySmarter

Figure 1. Le trajet en avion est l'une des rares situations où l'on n'a pas la sensation d'être dans un champ de pesanteur uniforme.

Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

Force gravitationnelle et pesanteur

Loi universelle de la gravitation

Quelle est la relation entre la pesanteur et la gravitation ? La gravitation est une force qui existe entre toute paire de masses \( m_1 \) et \( m_2 \). D'après la loi universelle de la gravitation de Newton, deux masses s'attirent l'une vers l'autre avec une force égale à : \[ \fbox{ \(F_G = G \frac{m_1m_2}{r^2} \) } \] où : \( F_G \) est la force gravitationnelle (N) ;

\( G \) est la constante universelle de gravitation ;

\( m_1 \) et \( m_2 \) sont les valeurs des masses (kg) ;

\( r \) est la distance entre les deux masses (m).

Mouvement dans un champ uniforme, force gravitationnelle, StudySmarter

Figure 2. Schéma de l'attraction entre deux masses due à la force gravitationnelle.

Pesanteur

À la surface de la Terre (ou d'une autre planète), tout objet qui s'y trouve ressent une force d'attraction vers la Terre que l'on appelle le poids. En appliquant la loi universelle de la gravitation de Newton, on trouve : \[ P = G \frac{M_T \,m}{R_T^2} \]

où : \( P \) est la force du poids ;

\( M_T \) est la masse de la Terre ;

\( R_T \) est le rayon de la Terre ;

\( m \) est la masse d'un l'objet à la surface de la Terre.

En réarrangeant l'expression du poids, on peut écrire :

\[ P = m \frac{GM_T}{R_T^2} \] \[ \fbox{ \( P = m g \) } \]

On voit que le poids de tout objet à la surface de la Terre est égal à la masse de cet objet fois un terme noté \(g\) que l'on appelle le champ de pesanteur, ou encore l'accélération de la pesanteur : \[ \fbox{ \( g = \frac{G M_T}{R_T^2} = 9{,}81\;N{.}kg^{-1} = 9{,}81 \;m{.}s^{-2}\) } \]

Pour passer du champ de pesanteur (ou du champ de gravitation) à la force du poids (ou à la force gravitationnelle), il suffit de multiplier le champ par la masse de l'objet présent dans ce champ.

On peut remarquer que la loi universelle de la gravitation de Newton implique que deux objets à la surface de la Terre, par exemple, deux personnes, s'attirent également entre eux par une force de gravitation. En outre, chaque objet créé son propre petit champ gravitationnel qui attire toutes les masses environnantes vers lui. Mais, ces forces et ces champs sont tout à fait négligeables devant la force du poids, c'est-à-dire devant le champ de pesanteur terrestre. Ainsi, tout se passe comme si les objets à la surface de la Terre étaient uniquement attirés par la Terre.

La pesanteur est le champ de gravitation ressenti par les objets à la surface de la Terre.

Application du principe fondamental de la dynamique

Comme nous l'avons vu précédemment, le champ de pesanteur est uniforme à la surface de la Terre. En réalité, l'intensité du champ varie légèrement selon que l'on est plus proche des pôles ou de l'équateur, et également si l'on se trouve au niveau de la mer ou en altitude, mais ce sont des variations négligeables.

Pour faire une étude dynamique du mouvement, appliquons maintenant le principe fondamental de la dynamique à un objet de masse \( m \). On a vu que l'on peut uniquement tenir compte de la force de gravitation qui est exercée par la Terre. Prenons en outre un objet qui est libre de se déplacer dans les airs, et qui n'est donc pas en contact avec le sol. Si on néglige l'effet des frottements de l'air, cet objet ressent ainsi seulement la force du poids \( \vec{P} = m\vec{g} \) dirigée vers le bas. D'après la deuxième loi de Newton, on a donc : \[ m \vec{a} = m \vec{g} \] On peut alors simplifier l'équation par la masse de chaque côté et on trouve que : \[ \fbox{ \( \vec{a} = \vec{g} \) } \]

L'accélération de tout objet en chute libre sur Terre est égale au champ de pesanteur et c'est pourquoi on appelle également \( \vec{g} \) l'accélération de la pesanteur. Ainsi, on trouve que tous les objets, quelque soit leur masse, tombent avec la même accélération. Ce n'est pas forcément intuitif, car on a tous vu une plume ou une feuille tomber tout doucement. Dans ce cas, l'air, dont on n'a pas tenu compte jusqu'ici, s'oppose au mouvement de ces objets très légers dont la forme fine et allongée favorise l'influence de la résistance de l'air. Mais, si l'on prend deux balles, une très légère en plastique et une très lourde en métal, et qu'on les lâche du haut d'un immeuble ou d'une pente bien lisse, elles doivent arriver en bas simultanément. Ce résultat a été trouvé expérimentalement par Galilée avant même que Newton soit né.

Nous rentrerons plus en détail dans la description du mouvement de projectiles en chute libre dans les articles suivants. Voyons maintenant le cas du champ électrique.

Mouvement dans un champ électrique uniforme

Analogie entre l'électricité et la gravitation

Le mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme est très semblable au mouvement d'une masse dans un champ de pesanteur uniforme, à la seule différence que, dans le cas de l'électricité, un objet peut être doté d'une charge soit positive, soit négative. Il y a une analogie entre l'électricité et la gravitation, que l'on peut voir par la forme similaire de la loi universelle de la gravitation et la loi de Coulomb, donnant la force électrique entre deux particules chargées : \[ F_e = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1q_2}{r^2} \] où \(F_e\) est la force électrique (N) ;

\( \epsilon_0 \) est la permittivité du vide ;

\( q_1 \) et \( q_2 \) sont les charges électriques (C) ;

\( r \) est la distance entre les deux charges (m).

Cette analogie est d'autant plus évidente si l'on pose \( k_e = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \) défini comme étant la constante de Coulomb. Étant donné qu'on est libre de prendre soit deux charges de mêmes signes, soit deux charges de signes opposés, la force électrique, contrairement à la force de gravitation, peut être soit répulsive, soit attractive, comme indiqué sur la figure ci-dessous :

Mouvement dans un champ uniforme, loi de Coulomb, StudySmarterFigure 3. Schéma de l'attraction et de la répulsion entre deux particules chargées due à la force électrique.

Résumons l'analogie entre la gravitation et l'électricité dans le tableau ci-dessous :

Tableau 1. Analogie entre la Gravitation et l'Électricité
Gravitation
Électricité
Masse \( m \)
Charge \( q \)
Constante de Gravitation \( G \)
Constante de Coulomb \( k_e = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \)
Force gravitationnelle \( F_G \)
Force électrique \( F_e \)
Loi universelle de la gravitation de Newton
Loi de Coulomb
\(F_G = G \frac{m_1m_2}{r^2} \)
\( F_e = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1q_2}{r^2} \)
Champ gravitationnel \( \vec{\mathcal{G}} \quad \) | Champ de pesanteur \( \vec{g} \)
Champ électrique \( \vec{E} \)
\( \vec{F_G} = m \times \vec{\mathcal{G}} \quad \) | \( \quad \vec{P} = m \times \vec{g} \)
\( \vec{F}_e = q \times \vec{E} \)

Analyse du mouvement

On voit à la dernière ligne du tableau précédent, étant donné que la charge électrique est l'équivalent de la masse, que pour passer du champ électrique à la force électrique, on doit multiplier le champ par la charge \( \vec{F}_e = q \times \vec{E} \). Ainsi, pour un même champ électrique, la force ressentie par une charge dépend de son signe. Si l'on prend deux charges opposées ayant la même vitesse initale. Le mouvement de la charge positive va être accéléré dans le sens du champ, tandis que le mouvement de la charge négative sera accéléré dans le sens opposé au champ (voir figure 4).

Mouvement dans un champ uniforme, champ électrique, StudySmarterFigure 4. Mouvement dans un champ électrique uniforme de charges de signes opposés.

Nous verrons plus en détail l'étude de la trajectoire dans les articles suivants. Terminons par mentionner le cas du champ magnétique. Contrairement à la force électrique et la force gravitationnelle, la force magnétique s'obtient en multipliant le champ magnétique par la charge et par la vitesse : \[ F_{magnétique} = q \times v \times B \] En outre, cette force n'est pas parallèle au champ, mais perpendiculaire simultanément à la vitesse et au champ magnétique. C'est donc une situation assez différente des précédentes. On peut remarquer qu'une charge au repos ne ressent aucune force et reste ainsi au repos. Quant à une charge en mouvement, le champ magnétique la fait seulement dévier, mais pas accélérer ni ralentir. Cela peut donner, par exemple, un mouvement circulaire uniforme.

Mouvement dans un champ uniforme - Points clés à retenir

  • À la surface de la Terre, il y a un champ de pesanteur uniforme qui fait que tous les objets en chute libre ont la même accélération dirigée vers le bas appelée accélération de la pesanteur.
  • Pour obtenir la force de pesanteur (ou de gravitation), on multiplie le champ de pesanteur (ou de gravitation) par la masse de l'objet présent dans le champ.
  • Il y a une analogie entre la gravitation et l'électricité. La seule différence entre les deux est que la charge, qui est l'équivalent de la masse dans cette analogie, peut prendre un signe positif ou négatif.
  • La force électrique s'obtient en multipliant le champ électrique par la charge et a ainsi un sens différent selon que la charge soit positive ou négative.
  • Dans un même champ électrique, les charges positives sont accélérées dans le sens du champ tandis que les charges négatives sont accélérées dans le sens opposé au champ.
  • Le champ magnétique ne fait que dévier le mouvement des charges mobiles, et ce, perpendiculairement à leur mouvement.

References

  1. Fig. 1 - Air France A380 F-HPJA (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Air_France_A380_F-HPJA.jpg). Auteur : Joe Ravi (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Jovianeye). Licence : CC-BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)
  2. Fig. 2 - Loi newton gravitation (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Loi_newton_gravitation.svg). Auteur : Schlecky. Licence : CC-BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en)
  3. Fig. 3 - CoulombsLaw (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:CoulombsLaw.svg). Auteur : Dna-Dennis (https://en.wikipedia.org/wiki/User:Dna-webmaster). Licence : CC-BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)

Questions fréquemment posées en Mouvement dans un champ uniforme

Dans le cas de champs gravitationnels et électriques uniforme, le mouvement se fait dans le plan défini par la vitesse initiale et le champ. Cela vient du fait que la force et donc l'accélération est parallèle au champ.

Un champ est uniforme lorsque sa norme, sa direction et son sens sont partout pareil. Cela a lieu à la surface de la Terre, lorsqu'on se déplace sur des distances négligeables devant le rayon de la Terre.

Questionnaire final de Mouvement dans un champ uniforme

Question

Quelle est l'expression du champ de pesanteur ?

Montrer la réponse

Réponse

\( g = \frac{GM_T}{R_T^2} \)

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Question

Quelle est l'unité du champ de pesanteur ?

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Réponse

\( N/kg \)

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Question

Si on lâche une balle en plastique et une balle en métal en même temps, et on néglige les frottements de l'air, quelle balle arrive au sol en premier ?

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Réponse

Les deux balles arrivent en même temps.

Montrer la question

Question

Quelle est l'unité de la masse dans le système international (SI) ?

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Réponse

le kilogramme (kg)

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Question

Quelle est l'unité du poids en physique ?

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Réponse

le Newton (N)

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Question

Quelle est l'unité de la charge électrique ?

Montrer la réponse

Réponse

le Coulomb (C)

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Question

Que vaut la constante de Coulomb ?

Montrer la réponse

Réponse

\( k_e = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \approx 8{,}9.10^9 \textrm{ SI}  \)

Montrer la question

Question

Comment s'appelle \( \epsilon_0 \) dans la loi de Coulomb ?

Montrer la réponse

Réponse

la permittivité du vide

Montrer la question

Question

Comment s'appelle \( \vec{g} \) ?

Montrer la réponse

Réponse

le champ de pesanteur

Montrer la question

Question

Comment s'appelle \( G \) ?

Montrer la réponse

Réponse

la constante de gravitation

Montrer la question

Question

Quelle est la relation entre la force gravitationnelle et le champ gravitationnel ?

Montrer la réponse

Réponse

\( \vec{F_G} = m \times \vec{\mathcal{G}} \) 

Montrer la question

Question

Quelle est la relation entre le poids et le champ de pesanteur ?

Montrer la réponse

Réponse

\( \vec{P} = m \times \vec{g} \)

Montrer la question

Question

Quelle est la relation entre la force électrique et le champ électrique ?

Montrer la réponse

Réponse

\( \vec{F}_e = q \times \vec{E} \)

Montrer la question

Question

Quelle est la relation entre la force magnétique et le champ magnétique ?

Montrer la réponse

Réponse

\( F_{magnétique} = q \times v \times B \)

Montrer la question

Question

Dans un champ électrique uniforme, comment est dirigée l'accélération d'une particule chargée négativement ?

Montrer la réponse

Réponse

Dans le sens opposé au champ.

Montrer la question

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