Condensateurs en série et parallèle

Formule des condensateurs en série et en parallèle

Voyons d'abord la formule des condensateurs en parallèle, nous comprendrons plus tard pourquoi nous choisissons d'abord le parallèle.

Condensateurs en parallèle

Dans la figure ci-dessous, nous voyons deux condensateurs à plaques parallèles connectés en parallèle.

Fig. 2 - Condensateurs à plaques parallèles orientés parallèlement, reliés par deux fils.

Dans un circuit parallèle, le courant est fourni à deux composants indépendamment l'un de l'autre grâce à l'utilisation d'une jonction. Pour calculer la capacité totale de ce montage, nous pouvons utiliser l'équation suivante

\[ C_{\text{p}} = \sum_{\text{i}} C_{\text{i}} ,\]

où \(C_{text{p}}\) est la capacité parallèle totale mesurée en farads \(\mathrm{F}\), \(C_{text{i}}\) est la capacité individuelle des condensateurs également mesurée en farads \(\mathrm{F}\), et le signe de somme \(\sum_{text{i}}\) indique que nous additionnons les capacités individuelles. Cette équation nous permet de voir les similitudes entre l'équation de la capacité parallèle et l'équation de la résistance en série. Une chose importante à noter à propos de cette équation est que la capacité d'un groupe de condensateurs en parallèle sera toujours plus grande que n'importe lequel des condensateurs impliqués, même celui qui a la plus grande capacité.

Condensateurs en série

Présentons maintenant la règle de la capacité en série. Nous verrons qu'elle a la même forme que celle de la résistance totale d'un ensemble de résistances connectées en parallèle. Dans la figure ci-dessous, nous voyons les deux mêmes condensateurs \(C_1\) et \(C_2,\) maintenant connectés en série.

Fig.3 - Les condensateurs sont placés en série, reliés par un seul fil.

Dans ce cas, les éléments sont connectés l'un après l'autre, et il n'y a pas de jonction. L'équation des condensateurs en série est la suivante

\[ \frac{1}{C_{\text{s}}} = \sum_{\text{i}} \frac{1}{C_{\text{i}} ,\]

où \(C_{\text{s}}\) est la capacité en série mesurée en farads \(\mathrm{F}\), \(C_{\text{i}}\) est la capacité individuelle mesurée en \(\mathrm{F}\), et \(\sum_{\text{i}}\) représente la somme de toutes les capacités. Comme nous pouvons le voir, cette équation est similaire à celle des condensateurs parallèles, sauf que nous additionnons les réciproques des capacités individuelles pour obtenir l'inverse de la capacité totale. La capacité d'un groupe de condensateurs en série est toujours inférieure à la capacité de n'importe lequel des condensateurs concernés, même celui dont la capacité est la plus faible.

Dérivation des condensateurs en série et en parallèle

Voyons tout d'abord la dérivation des condensateurs en parallèle.

Dérivation des condensateurs en parallèle

En utilisant l'équation du condensateur, nous constatons que le premier condensateur obéit à l'équation suivante

\[ C_1 = \frac{Q_1}{V_1} ,\]

où \(C_1\) est la capacité du premier condensateur, \(Q_1\) est l'ampleur de la charge sur les plaques du premier condensateur, et \(V_1\) est la tension aux bornes du premier condensateur. De même, avec le second condensateur, nous trouvons

\[ C_2 = \frac{Q_2}{V_2} ,\]

où \(C_2\) est la deuxième capacité, \(Q_2\) est l'ampleur de la charge sur les plaques du deuxième condensateur, et \(V_2\) est la tension aux bornes du deuxième condensateur.

Lorsque nous avons des composants électriques en parallèle les uns avec les autres, nous savons que la tension à travers eux est égale et équivalente à la tension totale à travers la section parallèle. On peut donc écrire que

\[ V_1 = V_2 = V_{\text{T}} .\]

De plus, nous pouvons réécrire la tension totale à travers la section parallèle comme suit

\[ V_{\text{T}} = \frac{Q_{\text{T}}{C_{\text{T}} .\]

La charge totale \(Q_{\text{T}}\) est donnée par l'addition des charges à travers les deux condensateurs à plaques parallèles, ceci parce que le courant à travers deux jambes d'un circuit parallèle est partagé. Nous constatons donc que

\[ \begin{align} Q_\text{T} &= Q_1 + Q_2 \\N- C_\text{T}} V_{text{T}} &= \left(C_1 V_1 \right) + \left( C_2 V_2 \right) \\C{text{T}} &= \frac{1}{V_{text{T}}} ( \left(C_1 V_{text{T}} \right) + \left( C_2 V_{text{T}} \right)) \\N- C_{{text{T}} &= \frac{\bcancel{V_{\text{T}}}}{\bcancel{V_{\text{T}}}} (C_1 + C_2) \N- C_{\text{T}} &= C_1 + C_2, \Nend{align} \]

ce qui nous donne notre équation pour les condensateurs en parallèle.

Dérivation des condensateurs en série

Comme pour les condensateurs en parallèle, appliquons l'équation du condensateur aux deux condensateurs en série. Le résultat est le suivant

\[ C_1 = \frac{Q_1}{V_1} ,\]

et

\[ C_2 = \frac{Q_2}{V_2} .\]

Lorsque des composants électriques sont en série les uns avec les autres, leur tension totale est partagée tandis que le courant à travers les deux composants est égal. Puisque le courant est égal, cela signifie également que la charge sur les deux plaques des condensateurs sera égale, ce qui nous permet d'écrire

\[ Q_1 = Q_2 = Q_{\text{T}} .\]

Nous pouvons alors également écrire que la tension totale aux bornes de la combinaison de condensateurs est la suivante

\[ V_{\text{T}} = V_1 + V_2 .\]

En réarrangeant les équations de nos condensateurs individuels et en les substituant à l'équation de la tension totale, nous obtenons la formule suivante

\[ \begin{align}V_{\text{T}} &= V_1+V_2\\ V_{\text{T}} &= \frac{Q_1}{C_1} + \frac{Q_2}{C_2} \N- V_{{text{T}} &= \frac{Q_{text{T}}}{C_1} + \frac{Q_{{text{T}}}{C_2} \\ \frac{V_{\text{T}}}{Q_{\text{T}}} &= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \\ \frac{1}{C_{\text{T}}} &= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} , \end{align} \]

ce qui nous donne l'équation du condensateur en série.

Condensateur en série et en parallèle

Maintenant que nous avons établi les règles des condensateurs dans les orientations série et parallèle, envisageons de combiner les deux cas et de déterminer comment calculer la capacité totale. En nous référant au diagramme ci-dessous, nous pouvons voir que le condensateur \(C_1\) est connecté en série tandis que \(C_2\) et \(C_3\) sont connectés en parallèle.

Fig. 4 - Les condensateurs sont maintenant combinés en série et en parallèle.

Énergie stockée dans les condensateurs en série et en parallèle

Avant de calculer l'énergie totale stockée dans une configuration de condensateurs, nous définissons d'abord l'énergie stockée dans un seul condensateur comme suit

\[ U_{\text{C}} = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} ,\]

où \(U_{{text{C}}\) est l'énergie stockée dans un seul condensateur mesurée en joules \(\mathrm{J}\), \(Q\) est la magnitude de la charge sur les plaques parallèles mesurée en coulombs \(\mathrm{C}\), et \(C\) est la capacité d'un condensateur mesurée en farads \(\mathrm{F}\).

Énergie stockée dans les condensateurs en série

De la même façon que nous avons calculé la capacité totale de condensateurs en série, nous calculons l'énergie totale de deux condensateurs en série. Le premier condensateur obéit à l'équation suivante

\[ C_1 = \frac{Q_1}{V_1} ,\]

tandis que le second condensateur obéit à l'équation suivante

\[ C_2 = \frac{Q_2}{V_2} .\]

Là encore, puisqu'ils sont en série, les charges \(Q\) des deux condensateurs sont égales, ce qui nous permet d'écrire

\[ Q_1 = Q_2 = Q_{\text{T}} .\]

L'énergie totale est donc

\[ \begin{align} E_{\text{T}} &= E_1 + E_2 \\\N- E_{text{T}} &= \frac{1}{2} \frac{Q_1^2}{C_1} + \frac{1}{2}\frac{Q_2^2}{C_2} \\N- E_{\text{T}} &= \frac{1}{2} Q^2 \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \right) . \Nend{align} \]

Énergie stockée dans des condensateurs en parallèle

Dans le cas de condensateurs en parallèle, nous devons définir une autre équation de condensateur d'énergie qui fait intervenir la tension. Cette équation est donnée par

\[ U_{\text{C}} = \frac{1}{2} CV^2 ,\]

où \(V\) est la tension à travers le condensateur mesurée en volts \(\mathrm{V}\).

Pour cette définition, nos deux condensateurs sont maintenant en parallèle, donc leurs tensions individuelles sont égales, ce qui nous permet d'écrire

\[ V_1 = V_2 = V_{\text{T}} .\]

L'énergie totale est donc

\[ \begin{align} E_{\text{T}} &= E_1 + E_2 \\\N- E_{text{T}} &= \frac{1}{2} C_1 V_1^2 + \frac{1}{2} C_2 V_2^2 \ E_{\text{T}} &= \frac{1}{2} V^2 \left(C_1 + C_2 \right) . \Nend{align} \]

Propriétés des condensateurs en série et en parallèle

Récapitulons quelques propriétés importantes des condensateurs en série et en parallèle.

1. La capacité d'un groupe de condensateurs en série est toujours inférieure à la capacité de n'importe lequel des condensateurs concernés, même celui dont la capacité est la plus faible.

2. La capacité d'un groupe de condensateurs en parallèle sera toujours supérieure à celle de n'importe lequel des condensateurs impliqués, même celui qui a la plus grande capacité.