Pendule simple

Le mouvement des pendules simples

Pour de nombreux sujets différents, il est souvent utile d'identifier une version simplifiée d'une forme de mouvement plus complexe afin de comprendre le système et de résoudre les problèmes. Alors, comment pouvons-nous analyser le mouvement d'un pendule simple ? Il serait difficile de se baser uniquement sur ce que nous savons de la cinématique. Cependant, si nous pouvons montrer que les pendules simples présentent un mouvement harmonique simple, nous pouvons appliquer les mêmes outils que ceux que nous avons appris pour le mouvement harmonique simple.

Commençonspar considérer le cas où un pendule simple présente un mouvement harmonique simple. Cela signifie que la force de rappel$F_r$doit être proportionnelle au déplacement$d$. Mathématiquement, nous pouvons écrire cette relation comme suit :

$F_r\propto d$.

Un pendule simple présente un mouvement de rotation. Dans notre cas, cela signifie que le déplacement est égal à l'angle, soit$\theta$multiplié par le rayon. Pour notre pendule simple, le rayon est simplement la longueur de la ficelle$L$:

$F_r\propto L\theta$.

Cependant, comme la longueur de la ficelle est constante, nous ne nous intéressons qu'à la dépendance de notre pendule par rapport à la thêta. Par conséquent, nous pouvons laisser tomber le terme de longueur de notre proportionnalité, puisque nous ne sommes pas encore en train de résoudre une équation :

$F_r\propto \theta$.

Maintenant, nous devrions avoir suffisamment d'informations pour dessiner un diagramme de corps libre et déterminer si notre force de rappel présente cette relation avec l'angle. Les seules forces qui agissent sur notre pendule simple sont la force de gravité qui agit vers le bas et la tension de la ficelle qui maintient notre pendule dans son mouvement de rotation.

Diagramme de corps libre d'un pendule simple, StudySmarter Originals

Nous pouvons diviser notre force de gravité en ses composantes x et y pour obtenir notre force de rappel. La gravité fournit la force de rappel parce que, encore une fois, la tension de la corde maintient le mouvement de rotation de notre masse.

Diagramme du corps libre d'un pendule avec les composantes individuelles des forces impliquées, StudySmarter Originals

Ici, la gravité dans la direction x est la force de rappel, la force qui agit contre la direction du mouvement. Note ici que peu importe où notre masse se trouve dans l'arc du pendule, la tension est perpendiculaire au mouvement. C'est pourquoi c'est la gravité qui fournit la force de rappel et non la tension. Ensuite, nous devons résoudre la question suivante$F_{g_x}$en termes de$\theta$:

$\begin{array}{rcl}\sin \left(\theta \right)& =& \frac{F_{g_x}}{F_g}\\ F_{g_x}& =& F_g\sin \left(\theta \right)\\ F_{g_x}& =& -mg\sin \left(\theta \right)\end{array}$.

Ici,$m$est la masse et$g$est l'accélération due à la gravité. Ainsi, notre force de rappel est proportionnelle à$\sin \left(\theta \right)$et non$\theta$! Cependant, nous disposons d'un outil mathématique puissant pour simplifier cette relation pour nous.

En d'autres termes, cela signifie que nous n'avons pas besoin d'évaluer la valeur de$\sin \left(\theta \right)$dans un calcul tant que$\theta$est petit. Par conséquent, pour de petits angles, un pendule simple présente effectivement un mouvement harmonique simple ! Voyons un exemple utilisant l'approximation des petits angles pour voir cet outil en action.

Jetons un coup d'œil aux formules les plus importantes que nous devons connaître pour travailler avec des pendules simples.

Formules pour les pendules simples

Maintenant que nous avons montré que l'approximation du petit angle est valable pour les pendules simples tant que l'angle n'est pas trop grand, nous pouvons faire le lien entre les pendules simples et le mouvement harmonique simple en explorant certaines de leurs propriétés. Considérons d'abord notre nouvelle force de rappel en supposant l'approximation du petit angle :

$\begin{array}{rcl}{F}_{g_x}& \approx & -mg\theta \\ F_{g_x}& \approx & -mg\left(\frac{x}{L}\right)\\ F_{g_x}& \approx & -\left(\frac{mg}{L}\right)x\end{array}$.

Rappelle-toi que le mouvement harmonique simple obéit àlaloi de Hooke, la théorie qui établit une proportionnalité linéaire entre le déplacement et un facteur constant de proportionnalité (comme la rigidité) avec la force :

$F=-kx$.

Ainsi, en comparant l'équation de la force de rappel àlaloi de Hooke, nous pouvons voir que notre constante de force$k$est :

$k=\frac{mg}{L}$.

Nous pouvons maintenant appliquer toutes nos formules pour le mouvement harmonique simple à un pendule simple. Commençons par considérer la période, c'est-à-dire le temps qu'il faut pour accomplir un cycle de mouvement. La période$T$est donnée par :

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.

La période est mesurée en unités de temps, le plus souvent en secondes,$\mathrm{s}$. En introduisant la valeur de la constante de force$k$on obtient la période d'un pendule simple :

$\begin{array}{rcl}T& =& 2\pi \sqrt{\frac{m}{\left(\frac{mg}{L}\right)}}\\ T& =& 2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}}\end{array}$.

La fréquence, ou le nombre d'occurrences d'un événement périodique par unité de temps, est simplement l'inverse de la période :

$\begin{array}{rcl}ƒ& =& \frac{1}{T}\\ ƒ& =& \frac{1}{2\mathrm{\pi }}\sqrt{\frac{g}{L}}\end{array}$.

La fréquence est mesurée en unités de temps inverse, le plus souvent en secondes inverses,$\frac{1}{\mathrm{s}}$La fréquence est mesurée en unités de temps inverse, le plus souvent en secondes inverses, ou Hertz,$\mathrm{Hz}$. Nous pouvons maintenant utiliser la formule de la période d'un pendule pour résoudre la fréquence angulaire$\omega$La fréquence angulaire d'un pendule est la fréquence d'un événement périodique. Rappelle que la formule de la période peut être donnée par :

$T=\frac{2\mathrm{\pi }}{\mathrm{\omega }}$.

Ainsi, nous trouvons que la fréquence angulaire est :

$\begin{array}{rcl}\omega & =& \frac{2\pi }{T}\\ \omega & =& \frac{2\pi }{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}\\ \omega & =& \sqrt{\frac{g}{L}}\end{array}$.

La fréquence angulaire est généralement mesurée en radians par seconde,$\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$. Il est intéressant de noter qu'aucune de ces formules ne dépend de l'angle de déplacement ou de la masse de notre pendule. Dans les limites de l'approximation du petit angle, quelle que soit l'amplitude que nous donnons à nos pendules, la période et la fréquence restent les mêmes, tant que la longueur du pendule reste constante !

En résumé, voici les formules que tu devrais être prêt à utiliser pour résoudre les problèmes de pendule simple :

• Nous pouvons trouver la période d'un pendule simple à l'aide de la formule suivante$\begin{array}{rcl}T& =& 2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}}\end{array}$.
• On trouve la fréquence d'un pendule simple en utilisant l'inverse de la formule précédente,${ƒ}_m=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\sqrt{\frac{g}{L}}$(ou plus facilement, l'inverse de la réponse que tu as trouvée pour la période).
• Nous pouvons trouver la fréquence angulaire d'un pendule simple en utilisant la formule suivante$\begin{array}{rcl}\omega & =& \sqrt{\frac{g}{L}}\end{array}$.

Applications du pendule simple

Les applications des pendules simples sont plus courantes dans la vie de tous les jours que tu ne le penses ! Nous avons déjà reconnu que les vieilles horloges, en particulier les "horloges de grand-père", sont une application classique d'un pendule en action. Nous avons aussi brièvement considéré que le mouvement de va-et-vient sur une balançoire, une boule de démolition ou le lancer d'une boule de bowling peuvent être assimilés à de simples pendules. Chacun de ces mouvements implique une attache à peu près rigide à un point fixe et un balancement répétitif.

Quelles sont les autres applications ? Prends l'exemple d'une attraction classique dans un parc d'attractions, un bateau de pirates qui se balance :

Le bateau qui se balance présente le mouvement d'oscillation d'un pendule simple , Public Domain.

Dans ce manège, le bateau affiche un mouvement harmonique simple en se balançant d'avant en arrière entre deux hauteurs extrêmes autour de sa fixation métallique rigide à une poutre de soutien centrale. Les métronomes, l'outil que les musiciens utilisent pour garder un rythme et un temps précis lorsqu'ils jouent d'un instrument, obéissent également au comportement d'un pendule simple, la gravité agissant sur des contrepoids pour la force de rappel.

Exemples de pendules simples

Travaillons sur un exemple en résolvant certaines variables du mouvement périodique étant donné la longueur d'un pendule.

Voyons un autre exemple de pendule simple, en examinant cette fois-ci comment ce type de mouvement diffère en fonction de la gravité de la surface.

Les pendules simples ne sont qu'une autre forme de mouvement harmonique simple, un mouvement périodique que l'on retrouve dans de nombreux scénarios quotidiens. Bien que nous fassions des approximations pour analyser ces systèmes, nos calculs simplifiés restent précieux pour comprendre ce type de mouvement.