Pendule simple

Un enfant qui se balance sur une balançoire, une boule de démolition qui pend au bout d'une grue, le bras d'une personne qui se balance pour lancer une boule de bowling : qu'est-ce que tous ces scénarios ont en commun ? Le mouvement périodique d'une masse qui se balance est un élément essentiel du mouvement harmonique simple et des oscillations. Dans cet article, nous allonspasser en revue la définition d'un pendule simple, les formules que nous utilisons pour résoudre les problèmes de pendule simple et comment nous les trouvons, quelques applications du monde réel et des exemples de problèmes. C'est parti !

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    Définition du pendule simple

    Au cours de tes études de physique, tu as probablement déjà rencontré le concept de pendule - revoyons ce que nous entendons par là.

    Un pendule est un poids qui est suspendu à un point fixe et qui oscille librement sous l'effet de la gravité.

    Pendule simple Les horloges classiques comme les horloges de grand-père obéissent à un mouvement harmonique simple StudySmarter

    Un vieil exemple de pendule est le balancement d'un poids suspendu à l'intérieur d'une horloge murale, Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0

    Les pendules sont généralement fixés à l'aide d'une tige rigide, comme le poids suspendu dans l'horloge ci-dessus. Le poids se balance d'avant en arrière, ou oscille, entre deux points maximum. Nous savons donc ce qu'est un pendule - qu'en est-il d'un pendule simple?

    Un pendule simple est un pendule idéal où l'on considère que toute la masse se trouve en un point de l'extrémité. La ligne reliant la masse du point à l'axe de rotation ne peut pas s'étirer et n'a pas de masse.

    En d'autres termes, un pendule simple est composé d'une masse concentrée à l'extrémité d'une corde inélastique et sans masse. Bien sûr, il s'agit d'un modèle idéal - les objets sans masse ne peuvent pas exister dans la vie réelle, mais de nombreux exemples de pendules peuvent être modélisés comme des pendules simples avec un degré de précision suffisant.

    Le mouvement des pendules simples

    Pour de nombreux sujets différents, il est souvent utile d'identifier une version simplifiée d'une forme de mouvement plus complexe afin de comprendre le système et de résoudre les problèmes. Alors, comment pouvons-nous analyser le mouvement d'un pendule simple ? Il serait difficile de se baser uniquement sur ce que nous savons de la cinématique. Cependant, si nous pouvons montrer que les pendules simples présentent un mouvement harmonique simple, nous pouvons appliquer les mêmes outils que ceux que nous avons appris pour le mouvement harmonique simple.

    Commençonspar considérer le cas où un pendule simple présente un mouvement harmonique simple. Cela signifie que la force de rappelFrdoit être proportionnelle au déplacementd. Mathématiquement, nous pouvons écrire cette relation comme suit :


    Frd.

    Un pendule simple présente un mouvement de rotation. Dans notre cas, cela signifie que le déplacement est égal à l'angle, soitθmultiplié par le rayon. Pour notre pendule simple, le rayon est simplement la longueur de la ficelleL:

    FrLθ.

    Cependant, comme la longueur de la ficelle est constante, nous ne nous intéressons qu'à la dépendance de notre pendule par rapport à la thêta. Par conséquent, nous pouvons laisser tomber le terme de longueur de notre proportionnalité, puisque nous ne sommes pas encore en train de résoudre une équation :

    Frθ.

    Maintenant, nous devrions avoir suffisamment d'informations pour dessiner un diagramme de corps libre et déterminer si notre force de rappel présente cette relation avec l'angle. Les seules forces qui agissent sur notre pendule simple sont la force de gravité qui agit vers le bas et la tension de la ficelle qui maintient notre pendule dans son mouvement de rotation.

    Pendule simple Diagramme de corps libre d'un pendule idéalisé soumis aux forces de tension et de gravité StudySmarterDiagramme de corps libre d'un pendule simple, StudySmarter Originals

    Nous pouvons diviser notre force de gravité en ses composantes x et y pour obtenir notre force de rappel. La gravité fournit la force de rappel parce que, encore une fois, la tension de la corde maintient le mouvement de rotation de notre masse.

    Pendule simple Diagramme du corps libre avec les composantes x et y de la force gravitationnelle et la composante thêta de la tension StudySmarterDiagramme du corps libre d'un pendule avec les composantes individuelles des forces impliquées, StudySmarter Originals

    Ici, la gravité dans la direction x est la force de rappel, la force qui agit contre la direction du mouvement. Note ici que peu importe où notre masse se trouve dans l'arc du pendule, la tension est perpendiculaire au mouvement. C'est pourquoi c'est la gravité qui fournit la force de rappel et non la tension. Ensuite, nous devons résoudre la question suivanteFgxen termes deθ:

    sin(θ)=FgxFgFgx=Fgsin(θ)Fgx=-mgsin(θ).

    Ici,mest la masse etgest l'accélération due à la gravité. Ainsi, notre force de rappel est proportionnelle àsin(θ)et nonθ! Cependant, nous disposons d'un outil mathématique puissant pour simplifier cette relation pour nous.

    L'approximation du petit angle est une règle qui stipule que pour des angles suffisamment petits (en radians), la valeur desin(θ)est approximativement égale à l'angle, ou :

    sin(θ)θ.

    En d'autres termes, cela signifie que nous n'avons pas besoin d'évaluer la valeur desin(θ)dans un calcul tant queθest petit. Par conséquent, pour de petits angles, un pendule simple présente effectivement un mouvement harmonique simple ! Voyons un exemple utilisant l'approximation des petits angles pour voir cet outil en action.

    Considérons un pendule dont l'angle est de10degrés. Calcule le pourcentage de différence entre la valeur réelle de la force de rappel et la valeur estimée à l'aide de l'approximation du petit angle.

    Pour résoudre ce problème, nous pouvons avoir besoin de comparer notre force de rappel approximative à notre force de rappel réelle. En commençant par notre force de rappel réelle, nous ne ferons pas d'approximation :

    Fgx=-mgsin(θ)Fgx=-mgsin(10°)Fgx=-mgsinπ18Fgx=-mg·0.1736

    Rappelle-toi que nous devons convertir notre angle en radians pour ce calcul. Ensuite, nous devons résoudre notre force de rappel approximative, en utilisant cette fois l'approximation du petit angle :

    Fgx=-mg(10°)Fgx=-mg(π18)Fgx=-mg·0.1745.

    Nous devons trouver la différence en pourcentage entre ces deux calculs. Le pourcentage d'erreur est donné par la formule suivante :

    %error=approximate value - exact valueexact value*100.

    Par conséquent, en introduisant les valeurs approximatives et exactes de la force de rappel, nous obtenons :

    %error=-mg·(0.1745) - (-mg)·0.1736-mg·0.1736*100%error=0.1745 - 0.17360.1736*100%error=0.1745 - 0.17360.1736*100%error=0.5184%.

    L'erreur en pourcentage n'est que d'environ un demi pour cent. Par convention, l'approximation du petit angle poursin(θ)est valable pour les angles inférieurs à une quinzaine de degrés.

    Jetons un coup d'œil aux formules les plus importantes que nous devons connaître pour travailler avec des pendules simples.

    Formules pour les pendules simples

    Maintenant que nous avons montré que l'approximation du petit angle est valable pour les pendules simples tant que l'angle n'est pas trop grand, nous pouvons faire le lien entre les pendules simples et le mouvement harmonique simple en explorant certaines de leurs propriétés. Considérons d'abord notre nouvelle force de rappel en supposant l'approximation du petit angle :

    Fgx-mgθFgx-mgxLFgx-mgLx.

    Rappelle-toi que le mouvement harmonique simple obéit àlaloi de Hooke, la théorie qui établit une proportionnalité linéaire entre le déplacement et un facteur constant de proportionnalité (comme la rigidité) avec la force :

    F=-kx.

    Ainsi, en comparant l'équation de la force de rappel àlaloi de Hooke, nous pouvons voir que notre constante de forcekest :

    k=mgL.

    Nous pouvons maintenant appliquer toutes nos formules pour le mouvement harmonique simple à un pendule simple. Commençons par considérer la période, c'est-à-dire le temps qu'il faut pour accomplir un cycle de mouvement. La périodeTest donnée par :

    T=2πmk.

    La période est mesurée en unités de temps, le plus souvent en secondes,s. En introduisant la valeur de la constante de forcekon obtient la période d'un pendule simple :

    T=2πmmgLT=2πLg.

    La fréquence, ou le nombre d'occurrences d'un événement périodique par unité de temps, est simplement l'inverse de la période :

    ƒ=1Tƒ=12πgL.

    La fréquence est mesurée en unités de temps inverse, le plus souvent en secondes inverses,1sLa fréquence est mesurée en unités de temps inverse, le plus souvent en secondes inverses, ou Hertz,Hz. Nous pouvons maintenant utiliser la formule de la période d'un pendule pour résoudre la fréquence angulaireωLa fréquence angulaire d'un pendule est la fréquence d'un événement périodique. Rappelle que la formule de la période peut être donnée par :

    T=2πω.

    Ainsi, nous trouvons que la fréquence angulaire est :

    ω=2πTω=2π2πLgω=gL.

    La fréquence angulaire est généralement mesurée en radians par seconde,rads. Il est intéressant de noter qu'aucune de ces formules ne dépend de l'angle de déplacement ou de la masse de notre pendule. Dans les limites de l'approximation du petit angle, quelle que soit l'amplitude que nous donnons à nos pendules, la période et la fréquence restent les mêmes, tant que la longueur du pendule reste constante !

    En résumé, voici les formules que tu devrais être prêt à utiliser pour résoudre les problèmes de pendule simple :

    • Nous pouvons trouver la période d'un pendule simple à l'aide de la formule suivanteT=2πLg.
    • On trouve la fréquence d'un pendule simple en utilisant l'inverse de la formule précédente,ƒm=12πgL(ou plus facilement, l'inverse de la réponse que tu as trouvée pour la période).
    • Nous pouvons trouver la fréquence angulaire d'un pendule simple en utilisant la formule suivanteω=gL.

    Applications du pendule simple

    Les applications des pendules simples sont plus courantes dans la vie de tous les jours que tu ne le penses ! Nous avons déjà reconnu que les vieilles horloges, en particulier les "horloges de grand-père", sont une application classique d'un pendule en action. Nous avons aussi brièvement considéré que le mouvement de va-et-vient sur une balançoire, une boule de démolition ou le lancer d'une boule de bowling peuvent être assimilés à de simples pendules. Chacun de ces mouvements implique une attache à peu près rigide à un point fixe et un balancement répétitif.

    Quelles sont les autres applications ? Prends l'exemple d'une attraction classique dans un parc d'attractions, un bateau de pirates qui se balance :

    Pendule simple Le bateau à balancier du parc d'attractions agit comme un pendule simple StudySmarter

    Le bateau qui se balance présente le mouvement d'oscillation d'un pendule simple , Public Domain.

    Dans ce manège, le bateau affiche un mouvement harmonique simple en se balançant d'avant en arrière entre deux hauteurs extrêmes autour de sa fixation métallique rigide à une poutre de soutien centrale. Les métronomes, l'outil que les musiciens utilisent pour garder un rythme et un temps précis lorsqu'ils jouent d'un instrument, obéissent également au comportement d'un pendule simple, la gravité agissant sur des contrepoids pour la force de rappel.

    Exemples de pendules simples

    Travaillons sur un exemple en résolvant certaines variables du mouvement périodique étant donné la longueur d'un pendule.

    Trouve la période et la fréquence d'un pendule simple2.0 mlong.

    Dans ce problème, il nous suffit d'appliquer nos formules pour la période et la fréquence d'un pendule.Commençonspar la période :

    T=2πLgT=2π2.0 m9.8 ms2T=2.8 s.

    Sachant que la fréquence n'est que l'inverse de la période, nous trouvons :

    𝑓=1T𝑓=12.8 s𝑓=0.36 Hz.

    Nos unités pour la fréquence sont les Hertz, une seconde inverse, qui décrit le nombre de cycles d'oscillation du pendule par seconde.

    Voyons un autre exemple de pendule simple, en examinant cette fois-ci comment ce type de mouvement diffère en fonction de la gravité de la surface.

    Considère deux pendules simples différents : l'un sur la lune et l'autre sur la terre. Suppose que la longueur du pendule sur Terre est deux fois plus longue que la longueur du pendule sur la lune. Trouve la fréquence du pendule sur la lune en fonction de la fréquence du pendule sur la Terre. Soit l'accélération due à la gravité sur la lune0.17fois l'accélération due à la gravité sur Terre.

    Pour commencer ce problème, considéronsd'abord le pendule sur Terre, dont le mouvement est régi par la longueurLEet l'accélération due à la gravité à la surface de la Terreg. En utilisant la formule de la période d'un penduleTet la relation entre la période et la fréquence, nous trouvons :

    TE=2πLEgfE=1TEfE=12πgLE.

    La même équation s'applique à notre pendule sur la lune, nous pouvons donc simplement prendre notre résultat précédent et y ajouter ce que nous savons :

    ƒm=12πgmLm.

    Ensuite, nous devons réécrire cette équation en fonction de la fréquence de notre pendule sur Terre. Rappelle les informations qui nous ont été données sur les longueurs :

    LE=2LmLm=12LE.

    De même, nous connaissons l'accélération due à la gravité sur la lune exprimée en multiples de la gravité terrestreg:

    gm=0.17·g.

    Rassemblons toutes les informations que nous avons recueillies jusqu'à présent pour résoudre la question suivantefmen termes defe:

    𝑓m=12π0.17g12LE𝑓m=12π0.34gLE𝑓m=12π0.34gLE𝑓m=12π0.34gLE𝑓m=0.58·12πgLE𝑓m=0.58𝑓E.

    Par conséquent, la fréquence du pendule sur la lune est0.58fois la fréquence du pendule sur Terre.

    Les pendules simples ne sont qu'une autre forme de mouvement harmonique simple, un mouvement périodique que l'on retrouve dans de nombreux scénarios quotidiens. Bien que nous fassions des approximations pour analyser ces systèmes, nos calculs simplifiés restent précieux pour comprendre ce type de mouvement.

    Pendule simple - Principaux enseignements

    • Un pendule simple peut être analysé à l'aide du mouvement harmonique simple si l'angle d'oscillation du pendule est suffisamment petit.
    • La gravité constitue la force de rappel d'un pendule simple.
    • Toutes les formules applicables au mouvement harmonique simple sont applicables aux pendules simples.
    • La période et la fréquence d'un pendule simple sont indépendantes de la masse et de l'amplitude initiale du pendule.
    Questions fréquemment posées en Pendule simple
    Qu'est-ce qu'un pendule simple en physique?
    Un pendule simple est un système physique constitué d'une masse suspendue à un fil sans masse et sans frottement, oscillant sous l'effet de la gravité.
    Quelle est la formule pour la période d'un pendule simple?
    La période T d'un pendule simple est donnée par la formule T = 2π√(l/g) où l est la longueur du fil et g l'accélération due à la gravité.
    Quels facteurs influencent la période d'un pendule simple?
    La période d'un pendule simple est influencée par la longueur du fil et la gravité. Plus le fil est long, plus la période est longue.
    Comment le pendule simple illustre-t-il l'oscillation harmonique simple?
    Le pendule simple illustre l'oscillation harmonique simple lorsque les petites oscillations sont considérées, où la force de rappel est proportionnelle au déplacement.

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    Quelle affirmation est vraie en ce qui concerne la définition du pendule simple ?

    La tension est... à la direction du mouvement dans un pendule simple.

    Quelle est la force de rappel d'un pendule simple ?

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