Chute libre et vitesse terminale

Formule de calcul de la vitesse terminale

La vitesse terminale est la vitesse maximale qu'un objet peut obtenir lorsqu'il tombe sous l'effet de la gravité à travers un fluide, généralement l'atmosphère. Elle dépend de plusieurs facteurs, notamment la masse de l'objet, la section transversale de l'objet et le coefficient de traînée de l'objet.

Elle est décrite par l'équation suivante .

$$V_t = \sqrt {\frac {2mg} {\rho AC_d}}$$.

\(V_t\) est la vitesse terminale finale. \(m\) est la masse de l'objet. \(g\) est l'accélération due à la gravité. \(\rho\) est la densité du fluide. \(A\) est la surface de la section transversale de l'objet. \(C_d\) est le coefficient de traînée.

Vitesse terminale et résistance de l'air

Nous avons mentionné que plusieurs facteurs peuvent modifier la vitesse terminale d'un objet. Ces facteurs peuvent donner lieu à des résultats intéressants !

Résoudre les problèmes impliquant la vitesse terminale

Maintenant que nous avons passé en revue les différentes composantes qui entrent en jeu dans la vitesse terminale d'un objet, examinons quelques exercices pratiques pour tester notre compréhension.

Un parachutiste plonge dans les airs à 14 000 pieds d'altitude et se demande à quelle vitesse il se déplace. Il sait que sa masse est de 80 kg et que son coefficient de traînée n'est que de 0,5 grâce à sa nouvelle combinaison de parachutisme. À son altitude et à sa température, la densité de l'air est de \(1,2\) kilogrammes par mètre cube. Enfin, il sait que plonger vers le sol présente la plus petite surface de section transversale, soit environ \(0,5\) mètre carré. À quelle vitesse tombe-t-il dans les airs, combien de temps lui faudra-t-il pour toucher le sol, et peux-tu résoudre l'équation avant qu'il n'atteigne la terre ?

Tout ce que nous avons à faire, c'est d'entrer toutes les variables qui nous ont été données dans notre équation de la vitesse terminale.

$$V_t = \sqrt {\frac {2mg} {\rho AC_d}}$$.

$$V_t = \sqrt {\frac {2*(80kg)*(9.8\frac m {s^2})} {1.2\frac {kg} {m^3} * (0.5 m^2) * (0.5)}}$$

$$V_t = \sqrt {\frac {1568 \frac {kg m}{s^2}}{0.3 \frac {kg} m}}$$$

$$V_t = \sqrt {5227 \frac {m^2}{s^2}$$

$$V_t = 72 \frac m s$$$

Notre parachutiste tombe donc à environ \(72\) mètres par seconde, ce qui correspond à \(161\) miles par heure, ou \(259\) kilomètres par heure. Comme il a atteint sa vitesse terminale, cette vitesse sera constante jusqu'à ce qu'une autre force agisse sur lui et modifie sa vitesse. Dans ce cas, il s'agit de la force de la terre sur son corps. Heureusement, nous pouvons déterminer le temps dont il dispose pour tirer sur son parachute avant que cela ne se produise.

Distance = vitesse * temps

$$14000 ft = 14000*0.305 m = 4270 m$$$

$$4270 m = 72 \frac m s * t$$$

$$t = 59.31 s$$$

Notre parachutiste a un peu moins d'une minute de chute avant que son vol ne s'achève brutalement !

Cependant, il pense que ce n'est pas assez de temps pour profiter de la sensation de tomber à travers les nuages, alors il décide de changer de position et de passer de la position de plongeur à la position de jambes écartées. Il veut tomber pendant un maximum de secondes. L'augmentation de la section transversale est-elle suffisante pour lui permettre de voler pendant 30 secondes supplémentaires ?

S'il veut mettre 90 secondes pour parcourir 4270 mètres de distance, il doit tomber plus lentement.

4270m = V_{ff} * 90s$$

$$V_{ff} = 47 \frac m s$$$

Sa nouvelle vitesse doit être de \(47 \frac m s\) s'il veut bénéficier de 90 secondes de vol. Quelle section transversale lui garantira cette vitesse, toutes les autres variables étant égales ?

$$V_t = \sqrt {\frac {2mg} {\rho AC_d}}$$

$$47 \frac m s = \sqrt {\frac {2*80kg*9.8 \frac m {s^2}}{1.2 \frac {kg}{m^3} * A * (0.5)}}$$

$$2209 \frac {m^2}{s^2} = \frac {1568 \frac {kgm}{s^2}}{0.6 \frac {kg}{m^3} * A}$$

$$2209 \frac {m^2}{s^2} * A = 2613 \frac {m^4}{s^2}$$.

$$A = 1.18 m^2$$$

Pour pouvoir prolonger son vol autant qu'il le souhaite, le parachutiste doit augmenter la surface de sa section transversale de \(0,5 m^2\) à \(1,18 m^2\). S'il étend ses bras et ses jambes le plus possible, c'est peut-être possible !

Différence entre la chute libre et la vitesse terminale

Alors que la vitesse terminale est définie comme le point où la force de résistance d'un fluide est équivalente à la force d'accélération de la gravité qui tire un objet vers le bas, la chute libre est définie comme toute situation où la seule force significative agissant sur un objet est la gravité.

Formule de la chute libre

Étant donné que la gravité est la seule force agissant sur un objet en chute libre, l'équation de la chute libre est beaucoup plus simple que celle de la vitesse terminale.

$$V_{ff}=gt+V_0$$

\(V_{ff}\) est la vitesse finale de la chute libre. \(g\) est l'accélération due à la gravité. \N(t) est le temps écoulé depuis le début de la chute. \N(V_0\N) est la vitesse initiale. Nous pouvons voir les différences entre ces états en examinant et en comparant les diagrammes du corps libre.

Diagramme du corps libre de la vitesse terminale

Les forces qui s'exercent sur le parachutiste sont égales, l'air créant suffisamment de résistance pour annuler parfaitement l'accélération de la pesanteur. La vitesse du parachutiste se stabilise donc, du moins jusqu'à ce que les conditions changent.

Un parachutiste qui tombe à la vitesse terminale subit une force descendante due à la gravité et une force de traînée ascendante égale due à la résistance de l'air. Ces forces égales n'entraînent aucune accélération. StudySmarter Originals

Diagramme du corps libre en chute libre

Cependant, pour un objet en chute libre, il n'y a pas de force de rappel significative qui s'oppose à la gravité. L'accélération due à la gravité n'est pas entravée, et la vitesse de l'objet continue donc d'augmenter.

Un parachutiste au-dessus de l'atmosphère fait l'expérience de la chute libre et n'a aucune force sur son corps en dehors de la gravité. Sa vitesse continue donc d'augmenter. StudySmarter Originals

Vitesse maximale pour la vitesse terminale et la chute libre

La vitesse maximale que peut atteindre un objet en vitesse terminale dépend des facteurs décrits ci-dessus, mais pour un parachutiste humain moyen, la vitesse terminale atteindra jusqu'à200 mph ou 320 km/h. La vitesse maximale que l'on peut atteindre en chute libre est illimitée. Sans aucune force de résistance à l'accélération de la gravité, la vitesse d'un objet en chute libre ne cesse d'augmenter. Felix Baumgartner a sauté du bord de l'espace en 2012 et a pu atteindre des vitesses estimées à plus de 843,6 mph, soit1 357,6 km/h, avant d'avoir atteint une atmosphère suffisante pour subir une force de résistance !

Situations de chute libre

Cette restriction sur la chute libre, où la gravité peut être la seule force significative agissant sur un objet, réduit le nombre de situations qui sont vraiment catégorisées comme chute libre.

Pour les vitesses de déplacement lentes dans l'air, la résistance de l'air est négligeable. Cela signifie que des situations comme lancer une balle en l'air ou sauter du sol sont des situations de chute libre. La résistance de l'air peut être ignorée, et la seule force significative agissant sur ces objets est l'accélération due à la gravité.

Les objets dans l'espace sont aussi souvent en chute libre. Si aucun système de propulsion externe n'est engagé, la seule force agissant sur les engins spatiaux et les astronautes est celle de la gravité.