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Formule du champ magnétique d'un fil conducteur de courant
Définissons tout d'abord l'équation qui nous permet de calculer le champ magnétique généré par un fil porteur de courant. Elle est donnée par la formule suivante
\[ B = \frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{r},\]
où \(B\) est la magnitude du champ magnétique mesurée en teslas \(\mathrm{T}\), \(\mu_{0}\) est la perméabilité de l'espace libre donnée par une valeur de \(4\pi \times 10^{-7} \,\mathrm{\frac{H}{m}}\) où \(\mathrm{H}\) désigne les henrys,
\(I\) est le courant dans le fil mesuré en ampères \(\mathrm{A}\), et \(r\) est la distance radiale du fil mesurée en mètres \(\mathrm{m}\).
Analysons cette équation plus en détail ; l'ampleur du champ magnétique généré par un fil droit porteur de courant est proportionnelle au courant dans le fil. Ainsi, en faisant passer un courant plus important dans le fil, nous obtenons un champ magnétique plus fort. D'autre part, l'ampleur du champ magnétique est inversement proportionnelle à la distance radiale du fil. Par conséquent, plus nous sommes éloignés, plus le champ magnétique est faible.
Fig. 1 - Le champ magnétique généré par un fil droit porteur de courant.
Sur la figure ci-dessus, le champ magnétique est indiqué par les cercles roses, qui soulignent que le champ généré est tangent au fil conducteur de courant et aux cercles concentriques dont le centre est le fil. Comme les lignes de champ sont tangentes au fil, il n'y a pas de composante du champ magnétique en direction du fil.
Direction du champ magnétique autour d'un fil conducteur de courant
Alors, comment pouvons-nous déterminer la direction du champ magnétique généré ? Nous pouvons utiliser ce que l'on appelle la règle de la poignée droite. En te référant à la figure ci-dessous, nous orientons ta main droite avec le pouce pointant vers le haut tandis que les doigts sont recourbés vers ta paume. Dans ce cas, ton pouce est orienté dans le sens du courant tandis que les doigts sont courbés dans le sens du champ magnétique.
Prenons un exemple.
Fig. 3 - La direction du champ magnétique dans un fil conducteur de courant est déterminée par la règle de la poignée droite.
Il s'agit du fil que nous avons vu dans la section précédente ; en utilisant la règle de la main droite, nous pouvons orienter notre pouce dans la direction du courant dans le fil, c'est-à-dire vers la droite. En orientant nos mains dans cette direction, nos doigts s'enroulent naturellement dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, ce qui correspond à la direction résultante du champ magnétique, indiquée par les flèches sur les lignes de champ magnétique.
Intensité du champ magnétique d'un fil électrique
Voyons maintenant comment l'intensité du champ magnétique d'un fil conducteur de courant affecte d'autres objets, par exemple un autre fil.
Intensité du champ magnétique entre deux fils conducteurs de courant
Maintenant que nous avons établi comment calculer le champ magnétique généré par le courant dans un fil, voyons comment ces champs magnétiques peuvent interagir entre eux. Si tu as lu notre autre article sur le champ magnétique d'une charge en mouvement, tu sais peut-être comment les charges en mouvement interagissent avec les champs magnétiques par l'intermédiaire de la force de Lorentz. Si ce n'est pas le cas, ce n'est pas grave, voici un petit rappel !
Lorsque des particules chargées traversent un champ magnétique, elles subissent ce que l'on appelle la force de Lorentz, qui est donnée par la formule suivante
\[ \c{F}_{text{M}} = q \c{v} \contre \c{B},\c}]
où \(\vec{F}_{\text{M}}\) est la force de Lorentz mesurée en newtons \(\mathrm{N}\), \(q\) est la charge de la particule mesurée en coulombs \(\mathrm{C}\), \(\vec{v}\) est la vitesse de la particule chargée mesurée en \(\mathrm{\frac{m}{s}}\), et \(\vec{B}\) est le champ magnétique mesuré en Teslas \(\mathrm{T}\). En outre, nous pouvons également représenter l'ampleur de la force de Lorentz comme suit
\[ |vec{F}_{text{M}}| = |q\vec{v}| |\sin(\theta)| |\vec{B}| ,\]
où \(\theta\) est l'angle entre la trajectoire de la particule chargée et le champ magnétique \(B\), et toutes les autres quantités sont les mêmes que ci-dessus.
L'ampleur de la force de Lorentz sur un fil est donnée par la formule suivante
\[ |vec{F}_{text{M}}| = |I \vec{L}| |\sin(\theta) | |\vec{B} | ,\]
où \(I\) est le courant circulant dans le fil mesuré en \(\mathrm{A}\), \(L\) est la longueur du fil dans le champ magnétique mesurée en \(\mathrm{m}\), et toutes les autres quantités sont les mêmes que précédemment. La direction de la force de Lorentz résultante peut être déterminée à l'aide de la règle de la main gauche.
Dérivation de la force de Lorentz sur un fil
Cette dérivation est une plongée en profondeur et n'est pas nécessaire dans le cadre de ce cours.
Tout d'abord, réécrivons le courant en termes de charge, ce qui donne
\[ I = \frac{q}{t},\]
où \(q\) est la charge totale des électrons mesurée en coulombs \(\mathrm{C}\), \(I\) est le courant mesuré en ampères \(\mathrm{A}\), et \(t\) est le temps total que les charges ont pris pour voyager mesuré en secondes \(\mathrm{s}\).
En outre, nous pouvons réécrire la vitesse \(v\) des particules chargées comme suit
\[ |vec{v}| = \frac{L}{t},\]
où \(L\) est la distance parcourue par les particules mesurée en \(\mathrm{m}\), et \(t\) est le temps écoulé mesuré en \(\mathrm{s}\). Nous pouvons substituer la vitesse \(v\) à notre magnitude de la force de Lorentz pour trouver que
\N- [\N- Début{alignement} |vec{F}_{{text{M}}| &= |vec{B}|q |\vec{v}| |\sin(\theta)| \\N- |vec{F}_{text{M}}| &= |vec{B}| q \frac{L}{t} | \sin(\theta)|. \[fin{align}\]
En allant encore plus loin, nous pouvons substituer le temps \(t\) de notre expression du courant pour trouver
\[ \begin{align} \vec{F}_{{text{M}}| &= |\vec{B}| q \left(\frac{L}{\frac{q}{I}} \right) |\sin(\theta)| \\\c{F}_{text{M}}| &= |\vec{B}| I L |\sin(\theta)|, \end{align}\N]
ce qui correspond à l'expression que nous avons établie précédemment.
Règle de la main droite pour trouver le champ magnétique d'un fil électrique
Considérons maintenant deux fils parallèles l'un à l'autre, comme dans la figure ci-dessous.
Fig. 4 - Deux fils parallèles exerçant une force l'un sur l'autre.
Considère la force \(F_1\) agissant sur le fil du côté droit transportant le courant \(I_2\). Le champ magnétique généré par le fil de gauche agit vers le bas sur le fil de droite, tandis que le courant passe dans la page. Si nous utilisons la règle de la main gauche et orientons le premier doigt vers le bas, tandis que le deuxième doigt pointe vers la page, nous constatons que la force résultante \(F_1\) (donnée par la direction du pouce) pointe vers la gauche.
En procédant de la même façon avec le fil de gauche, cette fois-ci, au lieu que le champ magnétique du fil de droite agisse vers le haut, nous constatons que la force de Lorentz résultante \(F_2\) est dirigée vers la droite. Nous pouvons donc conclure que deux fils transportant des courants dans la même direction subiront une force d'attraction l'un vers l'autre.
Peux-tu trouver la direction de la force si les courants vont dans des directions opposées ? Regarde nos flashcards pour cet article et teste-toi !
Formule de la force magnétique entre deux fils conducteurs de courant
Considère à nouveau la situation ci-dessus où les deux fils transportent des courants dans la même direction. En utilisant la magnitude de l'équation de la force de Lorentz, nous pouvons substituer notre expression pour le champ magnétique du fil 1, pour trouver la force sur le fil 2 comme suit
\[ \begin{align} F &= BI_2 L\sin(\theta) \F &= \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I_1}{r} I_2 L \sin(90^{\circ}) \F &= \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2}{r} L . \n-{align} \]
Ici, la première ligne de notre dérivation indique la force sur le deuxième fil, c'est pourquoi nous avons remplacé le terme \(I\) par \(I_2\). Ensuite, nous substituons l'expression du champ magnétique du premier fil, ce qui entraîne l'inclusion du terme \(I_1\).
En éliminant le terme de trigonométrie qui est égal à un, nous pouvons réarranger pour trouver la force par unité de longueur sur le deuxième fil comme suit
\[ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2}{r} , \]
où \(\frac{F}{L}\) est la force par unité de mètre mesurée en newtons par mètre \(\mathrm{N}{m}\), \(r\) est la distance radiale du deuxième fil, et tous les autres termes sont les mêmes que les équations précédentes.
Champ magnétique dû à une boucle circulaire parcourue par un courant
Nous allons maintenant examiner un cas particulier de la forme d'un fil porteur de courant ; dans le cas où le fil forme une boucle, notre formule pour l'intensité du champ magnétique autour du fil change légèrement. Dans ce cas, notre équation devient
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2R} ,\]
où \(B\) est la magnitude de l'intensité du champ magnétique au centre de la boucle mesurée en teslas \(\mathrm{T}\), \(R\) est le rayon de la boucle de courant, et toutes les autres quantités restent les mêmes que notre équation précédente.
Ainsi, nous pouvons voir que la formule ressemble beaucoup à l'équation générale du champ magnétique autour d'un fil, mais quelques petites différences doivent être mémorisées. Par exemple, nous n'avons plus le facteur \(2\pi\) au dénominateur car la forme du champ magnétique environnant n'est plus en anneaux circulaires. De plus, le rayon \(R\) n'est plus une variable mais une constante.
Exemple de force magnétique sur des fils conducteurs de courant
Pour finir, examinons un exemple de question.
Nous avons un fil de longueur \N(1,5\N,\Nmathrm{m}\N), transportant un courant de \N(2,7\N,\Nmathrm{mA}\N) dans la direction ascendante.
- Quelle est l'ampleur du champ magnétique généré par le fil à une distance radiale de \(6.7\,\mathrm{cm}\) ?
Nous avons maintenant un autre fil de longueur \N(1,2\N,\Nmathrm{m}\N), transportant un courant de \N(9,7\N,\Nmathrm{mA}\N) dans la direction du bas. Il est placé à une distance radiale de \N(6,7\N,\Nmathrm{cm}\N) du premier fil.
- Quelle est la direction de la force de Lorentz agissant sur le deuxième fil ?
- Quelle est l'ampleur de cette force ?
Le schéma ci-dessous montre la configuration de la question.
Fig. 5 - Deux fils parcourus par des courants de sens opposés.
1. Pour calculer l'ampleur du champ magnétique, utilisons notre équation du champ magnétique provenant d'un courant circulant dans un fil. En substituant les nombres de la question, nous obtenons
\N[ B = \Nfrac{4\pi \Nfois 10^{-7} \,\mathrm{\frac{H}{m}} \N- fois 2.7 \N- fois 10^{-3}\N-{2\pi \N- fois 6.7 \N- fois 10^{-2} \N-{mathrm{m}} = 8.1 \N- fois 10^{-9}\N-{mathrm{T} ,\]
où nous avons utilisé le fait que \( 1 \N, \Nmathrm{H} = 1 \N, \Nmathrm{\Nfrac{ kg \N, m^2}{s^2 \N, A^2}}) et \N( 1 \N, \Nmathrm{T} = 1 \N, \Nmathrm{\Nfrac{kg}{s^2 \N, A}}).
2. Pour trouver la direction de la force de Lorentz sur le deuxième fil, nous pouvons utiliser à la fois la règle de la poignée droite et la règle de la poignée gauche. Tout d'abord, nous devons déterminer la direction du champ magnétique provenant du premier fil. En pointant notre pouce droit dans la direction du courant, nous constatons que le champ se déplace dans le sens des aiguilles d'une montre.
Par la suite, en considérant l'orientation des deux fils, on peut alors déduire que la direction du champ magnétique agit vers le bas sur le fil 2. Par conséquent, en pointant notre premier doigt vers le bas et notre deuxième doigt dans le sens du courant, on constate que la force de Lorentz résultante se trouve à droite.
Si nous déterminions la direction de la force de Lorentz sur le fil 1, nous constaterions que la force résultante serait vers la gauche. Par conséquent, lorsque deux fils parallèles l'un à l'autre sont parcourus par des courants de directions opposées, ils subissent une force de répulsion.
3. Enfin, nous devons calculer l'ampleur de la force qui agit sur le deuxième fil. À l'aide de l'équation précédente, nous pouvons substituer nos nombres pour trouver
\[ \begin{align} F &= 8.1 \N- fois 10^{-9} \, \mathrm{T} \N- fois 9.7 \Nfois 10^{-3} \, \mathrm{A} \times 1.2 \, \mathrm{m} \N- Temps \Nsin \Ngauche(\Nfrac{\pi}{2} \Ndroite) \N &= 9.4 \Nfois 10^{-11} \N-, \Nmathrm{N}, \Nend{align}\N]
où nous avons utilisé le fait que \( 1 \Nmathrm{N} = 1 \Nmathrm{\Nfrac{kg \Nm, m}{s^2}}\) et \Nmathrm{N} = \Nfrac{\Npi}{2} \Nmathrm{rads}\N parce que la direction du champ magnétique et celle du fil sont perpendiculaires.
Champ magnétique d'un fil parcouru par un courant - Principaux enseignements
- Un courant circulant dans un fil génère un champ magnétique autour de lui.
- Le champ magnétique a la forme de cercles concentriques dont le centre se trouve sur le fil.
- L'amplitude du champ magnétique est donnée par \( B = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{r} \).
- La direction du champ magnétique peut être déterminée par la règle de la poignée droite.
- Deux fils conducteurs, placés l'un à côté de l'autre, exercent l'un sur l'autre une force de Lorentz, donnée par \(F = BIL \sin(\theta)\).
- Si les courants vont dans la même direction, ils subissent une force d'attraction.
- Si les courants vont dans la direction opposée, ils subissent une force de répulsion.
Références
- Fig. 1 - Champ magnétique sortant d'un fil conducteur de courant, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Règle de la poignée droite, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Direction du champ magnétique dû au fil conducteur de courant, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Deux fils parallèles exerçant une force l'un sur l'autre, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Deux fils parallèles transportant des courants dans des directions opposées, StudySmarter Originals.
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