Loi de refroidissement de Newton

Définition de la loi du refroidissement de Newton

La loi de Newton sur le refroidissement explique la vitesse à laquelle un objet perd de la chaleur dans son environnement. Elle relie la différence de température entre l'objet et l'environnement à la vitesse de perte de chaleur par l'objet.

En d'autres termes, la loi de Newton sur le refroidissement décrit la vitesse à laquelle un objet se refroidit compte tenu de la différence de température avec son environnement : plus la différence de température est importante, plus notre objet se refroidit rapidement. Par exemple, elle peut nous aider à expliquer à quelle vitesse une tasse d'eau bouillante se refroidit dans une cuisine à température ambiante.

La loi de Newton sur le refroidissement n'est pas toujours parfaitement exacte, il y a quelques conditions qui doivent tenir.

1. La nature de la perte de chaleur doit rester la même pendant que la perte de chaleur a lieu.

2. La température de l'environnement doit rester constante pendant que la perte de chaleur a lieu.

3. La différence entre la température et l'environnement doit être faible.

Dans de nombreuses situations, ces approximations sont valables, cependant, dans certaines méthodes de transfert de chaleur, comme la convection ou la radiation, la loi est moins applicable.

Il peut y avoir une certaine confusion sur la différence entre la chaleur et la température et sur ce que cette loi nous dit réellement. En fait, Newton lui-même a d'abord mal énoncé la loi, car la différence entre la chaleur et la température n'était pas entièrement connue à l'époque. Avant de poursuivre, récapitulons quelques définitions.

Exemple de la loi de Newton sur le refroidissement

Pour comprendre ce que nous dit la loi de Newton sur le refroidissement, il suffit de prendre une tasse de soupe. Nous savons tous que la soupe sera trop chaude pour être mangée pendant la première minute environ, mais qu'elle finira par atteindre une température que nous pourrons apprécier. Nous pouvons alors manger la soupe tranquillement pendant une dizaine de minutes, et elle reste chaude pendant toute la durée du repas. Cela correspond-il à ce que nous dit la loi de Newton ? Au départ, la soupe est beaucoup plus chaude que l'air qui l'entoure et, d'après la loi de Newton, nous savons que le taux de perte de température est le plus élevé lorsque la différence de température est la plus grande. Nous nous attendons donc à ce que le taux de refroidissement soit le plus rapide lorsque la soupe est la plus chaude, ce qui est précisément ce que nous voyons dans la réalité. La loi de Newton stipule qu'à mesure que la température de la soupe se rapproche de la température ambiante, sa vitesse de refroidissement ralentit. C'est pourquoi elle reste à une température agréable beaucoup plus longtemps que lorsqu'elle est à sa température la plus chaude. Nous avons de la chance !

Un bol de soupe chaud est un excellent exemple de la loi du refroidissement de Newton en action, Unsplash.

Formule de la loi de Newton sur le refroidissement

Maintenant que nous comprenons les idées de base de la loi de Newton sur le refroidissement, voyons ce qu'elle dit mathématiquement ! Écrite sous forme d'équation, la loi de Newton énonce ce qui suit : \[\frac{\text{d}T}{\text{d}t}=-r(T-T_\text{env}),\] where:

• \(\frac{\text{d}T}{\text{d}t}\) est le taux de changement de température de l'objet (unités : \(\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{s}}\)),

• \N(T\N) est la température de l'objet (unités : \ (\mathrm{K}\)),

• \(T_\text{env}\) est la température de l'environnement (unités : \ (\mathrm{K}\)),

• \(r\) est une constante qui dépend du matériau de l'environnement, du matériau de l'objet, de la capacité thermique de l'objet et de la surface de l'objet, appelée coefficient de transfert de chaleur (unité : \(\frac{1}{\mathrm{s}}\)).

Cette équation est un type d'équation différentielle et peut être résolue pour trouver la température du corps \(T(t)\) en fonction du temps \(t\). Cependant, la résolution d'équations différentielles n'est pas quelque chose que tu feras au lycée, et dans cet article, nous nous contenterons d'énoncer sa solution :

\[T(t)=T_\text{env}+(T_0-T_\text{env})\text{e}^{-rt},\]

où \(T_0\) est la température initiale de l'objet et \(\text{e}\) est la constante d'Euler.

C'est sur cette deuxième équation que nous allons nous concentrer, car elle nous permet de calculer directement les températures et de les représenter sous forme de graphique en fonction du temps. Examinons quelques-unes des propriétés générales de cette équation.

1. D'emblée, nous constatons qu'en fixant \(t=0,\mathrm{s}\), le terme exponentiel n'est qu'un et nous obtenons [T(0,\mathrm{s})=T_\text{env}+(T_0-T_{env})\cdot 1=T_0.\N-].

2. D'autre part, comme \(t\à\infty\), nous obtenons que \(T\à T_\text{env}\) comme nous nous y attendons lorsque deux objets atteignent la même température ou l'équilibre thermique.

3. Les objets ayant un coefficient de transfert thermique plus élevé perdent de la chaleur plus rapidement que ceux ayant un coefficient plus faible. Plus la surface d'un objet est grande, plus il se refroidit rapidement à mesure que l'exposant devient négatif. C'est précisément ce qui se passe dans la réalité, car il y a plus de surface pour que la chaleur passe entre le corps et son environnement.

Calcul avec la loi de Newton sur le refroidissement

Nous allons maintenant effectuer un calcul à l'aide de la formule de température présentée ci-dessus.

Graphique de la loi de Newton sur le refroidissement

Pour avoir une idée générale de la façon dont un objet suivant la loi de Newton se refroidit au fil du temps, nous pouvons tracer un graphique. Le graphique de la température en fonction du temps pour un objet qui suit la loi de Newton sur le refroidissement montre une décroissance exponentielle. Remarque ci-dessous que le graphique commence par une très forte pente, avant de s'incurver lentement pour présenter une pente beaucoup plus faible jusqu'à ce que l'objet atteigne une température très proche de celle de son environnement. La pente du graphique représente le taux de changement de température.

et est donné par la formule de l'équation différentielle de la loi de Newton sur le refroidissement,\[\frac{\text{d}T}{\text{d}t}=r(T-T_\text{env}).\N-Comme l'indique la loi, le gradient est initialement très élevé, mais il diminue au fur et à mesure que la différence de température diminue. On le voit sur le graphique, qui commence par être beaucoup plus raide, mais qui s'aplatit à mesure que la température diminue. Cela se produit parce que l'objet commence par perdre rapidement de la chaleur dans le milieu environnant, mais à mesure qu'il se refroidit, la vitesse à laquelle la chaleur pénètre dans le milieu environnant ralentit. Une fois que le graphique se stabilise, la température de l'objet est très proche de la température ambiante.

Fig. 1. Tracé de la courbe de refroidissement pour l'exemple de calcul. Note comment le graphique commence à 350K et tend vers la température du bain.

Dans le graphique ci-dessus, les données du calcul de l'exemple précédent ont été tracées. Il commence à la température initiale de \(350\\N,\Ntext{K}\N) et tend vers la température du bain \N(280\N,\Ntext{K}\N). Dans le graphique ci-dessous, le taux de changement de température a été représenté en traçant le gradient du graphique supérieur. Note qu'il commence par être extrêmement négatif et qu'il se stabilise vers zéro à partir du bas, comme on pouvait s'y attendre.

Fig. 2. Graphique du taux de changement de la température en fonction du temps. Note qu'il devient moins négatif avec le temps.