Ondes stationnaires

Période et fréquence des ondes stationnaires

La période de l'onde stationnaire est le temps nécessaire à une antinode pour effectuer un cycle complet de vibration. Cela signifie que l'antinode a oscillé de l'amplitude maximale au-dessus de la ligne médiane à la valeur maximale en dessous de la ligne médiane et vice-versa. La fréquence d'une onde est le nombre de cycles complets par seconde.

La fréquence, la vitesse et la longueur d'onde d'une onde peuvent être déterminées à l'aide de l'équation d'onde ci-dessous, où$f$est la fréquence en $\mathrm{Hz}$,$v$est la vitesse en$\mathrm{m}/\mathrm{s}$et$\lambda$est la longueur d'onde en$\mathrm{m}$.

$$\begin{gathered} v=f\lambda \\ velocity=frequency·wavelength \end{gathered}$$

Différence de phase

Le déphasage de différents points d'une onde stationnaire dépend du nombre de nœuds entre ces deux points.

• Si le nombre de nœuds entre deux points est impair, alors les points sont déphasés.
• Si le nombre de nœuds entre les points est pair, alors les points sont en phase.

Comment les ondes stationnaires sont-elles créées ?

Une onde stationnaire est un motif d'onde formé par la superposition de deux ou plusieurs ondes progressives se déplaçant dans des directions opposées le long de la même ligne. Les ondes doivent avoir la même fréquence ou longueur d'onde, et la même amplitude. En général, une onde stationnaire est formée par une onde mobile qui se réfléchit sur une limite et commence à se déplacer dans la direction opposée. L'onde originale et l'onde réfléchie interfèrent et créent une onde stationnaire.

Lorsque deux ondes identiques se déplaçant dans des directions opposées interfèrent, elles forment une onde stationnaire. Ici, les ondes vertes et bleues se combinent pour former l'onde stationnaire rouge. Wolfgang Christian et Francisco Esquembre, CC BY-SA 4.0

Maintenant que nous comprenons comment se forment les ondes stationnaires, nous devons savoir comment travailler avec elles. Pour ce faire, nous devons trouver comment les décrire mathématiquement. Considérons deux ondes progressives qui se déplacent dans des directions opposées mais qui sont par ailleurs équivalentes :

$$\begin{gathered} y_1(x,t)=A\sin (kx-\omega t) \\ {y}_2(x,t)=A\sin (kx+\omega t)\begin{array}{}\end{array} \end{gathered}$$

Rappelle-toi que$k=\frac{2\pi }{\lambda }$est le nombre d'onde et$\omega =2\pi f$est la fréquence angulaire. Pour obtenir une onde stationnaire, il suffit de prendre la superposition de ces deux ondes.

$$\begin{gathered} y(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t) \\ y(x,t)=A\sin (kx-\omega t)+A\sin (kx+\omega t) \end{gathered}$$

Rappelle-toi maintenant que la somme des angles de l'identité trigonométrique est donnée par la formule suivante

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\beta \right)\pm \cos \left(\alpha \right)\sin \left(\beta \right)$

Ensuite, nous appliquons cette identité à notre équation où$\alpha =kx,$et$\beta =\omega t.$Ainsi

$$\begin{gathered} y(x,t)=A\left[\sin \right(kx\left)\cos \right(\omega t)-\cos (kx\left)\sin \right(\omega t\left)\right]+A\left[\sin \right(kx\left)\cos \right(\omega t)+\cos (kx\left)\sin \right(\omega t\left)\right] \\ \boxed{y(x,t)=2A\sin \left(kx\right)\cos \left(\omega t\right)} \end{gathered}$$

Voici notre formule pour une onde stationnaire en fonction de la position et du temps.

L'amplitude d'une onde stationnaire

L'amplitude d'une onde stationnaire à un moment donné dépend de la position à laquelle tu te trouves sur l'onde stationnaire. Cela va de l'amplitude maximale qui est une superposition des deux amplitudes des ondes voyageuses qui constituent notre onde stationnaire, soit 2A, puis on passe par 0 pour finalement arriver à un minimum de -2A. Tu peux probablement voir où cela nous mène. L'amplitude de notre onde stationnaire contient le terme sin de notre formule pour une onde stationnaire. Nous avons donc

$A_{standing}=2A\sin \left(kx\right)$

Quels sont les exemples d'ondes stationnaires ?

Nous allons examiner ci-dessous deux exemples : les ondes sonores et les cordes vibrantes.

Les ondes sonores

Les ondes sonores peuvent être produites par la formation d'ondes stationnaires à l'intérieur d'une colonne d'air

Les ondes sonores peuvent produire des ondes stationnaires dans les colonnes d'air. On peut visualiser ce phénomène en plaçant une poudre à l'intérieur de la colonne d'air et un haut-parleur à une extrémité ouverte. Le haut-parleur produira des ondes sonores qui seront réfléchies une fois qu'elles auront atteint la limite. Avec une onde qui se déplace et une onde réfléchie, nous obtenons des ondes stationnaires à certaines fréquences. La poudre à l'intérieur de la colonne d'air sera espacée uniformément, ce qui indique visuellement la position des nœuds.

Cordes tendues

Harmoniques

Les harmoniques sont des motifs différents d'ondes stationnaires formées sur des cordes à deux extrémités fixes. Le motif de l'onde stationnaire dépend de sa fréquence. Plus la fréquence de l'onde est élevée, plus les harmoniques apparaissent sur l'onde. La forme la plus simple d'harmonique illustrée dans la figure ci-dessous est formée par la fréquence la plus basse qui est connue sous le nom de première harmonique ou harmonique fondamentale . Il s'agit d'une boucle formée de deux nœuds à ses extrémités et d'un seul antinode, comme indiqué ci-dessous. La fréquence de la première harmonique dépend de la longueur de la corde L et de la vitesse de l'onde.

De même, une deuxième harmonique ou une première harmonique est formée par une fréquence plus élevée et se compose de trois nœuds et de deux antinœuds. Enfin, une troisième harmonique ou une deuxième harmonique est formée par une fréquence encore plus élevée et se compose de quatre nœuds et de trois antinœuds.

Les ondes stationnaires se forment à des fréquences spécifiques appelées harmoniques StudySmarter Originals

En utilisant notre restriction sur la longueur d'onde et la fréquence, nous pouvons calculer les harmoniques.

Différences entre les ondes progressives et les ondes stationnaires

Bien que les ondes stationnaires et les ondes progressives aient des propriétés similaires, elles présentent également plusieurs différences. Le tableau ci-dessous résume les différences entre une onde stationnaire et une onde progressive.