Force et Couple

Équations de la force et du couple

Motivés par le fait de trouver une explication à la façon dont toi et ton ami avez réussi à équilibrer la balançoire à bascule, il est bon de commencer notre discussion en révisant le concept de force. En physique, nous définissons une force comme suit :

La définition ci-dessus implique que chaque fois qu'un objet subit un changement dans son état de mouvement, des forces sont impliquées. Nous pouvons exprimer cette idée de manière quantitative grâce à la deuxième loi de Newton,

\[\vec{F} = m\vec{a},\]

où \ (\vec{F}\) est la force agissant sur l'objet, \(m\) est sa masse, et \(\vec{a}\) est l'accélération de l'objet. La force et l'accélération sont toutes deux des quantités vectorielles avec une magnitude et une direction. C'est pourquoi leurs symboles sont accompagnés d'une petite flèche. Pour utiliser la deuxième loi de Newton afin de résoudre des problèmes de physique, nous pensons à l'aide-mémoire suivant :

\[\text{Force} = \text{Masse} \time \text{Accélération}.\N].

En repensant à la balançoire, nous avons remarqué que toi et ton ami pivotez autour d'un point fixe : le centre de la balançoire. Vous ne vous déplacez donc pas tout à fait en ligne droite, mais vous tournez autour d'un axe. La présence d'une rotation est essentielle au concept de couple, que nous définissons comme suit :

Le mot couple vient du terme latin torquere, qui signifie tordre. En utilisant la définition ci-dessus comme référence, nous pouvons facilement comprendre pourquoi les physiciens aiment considérer le couple comme l'analogue rotationnel de la force linéaire. En fait, le couple satisfait à sa propre équation, que nous appelons la deuxième loi de Newton pour la rotation :

\[\vec{\tau} = I\vec{\alpha}.\]

Dans l'équation ci-dessus, \ (\vec{\tau}\) représente le couple, \(I\) le moment d'inertie et \(\alpha\) (la lettre grecque alpha) l'accélération angulaire. Comme précédemment, nous pouvons résumer l'équation ci-dessus en mots comme suit :

\[\text{Torque} = \text{Moment d'inertie} \Nfois \Ntexte{Accélération angulaire}.\N]

Si tu n'as jamais rencontré le concept de moment d'inertie, ne t'inquiète pas. Tout ce que tu dois savoir, c'est que, comme la masse, le moment d'inertie représente la tendance d'un objet à résister aux changements de son état de mouvement. Cependant, contrairement à la masse, le moment d'inertie d'un objet varie en fonction de sa géométrie. Dans les applications techniques, le moment d'inertie d'un objet est quelque chose que tu peux trouver sur une table.

La bonne nouvelle, c'est que nous pouvons résoudre de nombreux problèmes de physique impliquant un couple à l'aide d'une équation plus simple :

\[\begin{align}\tau &= Fr_\perp \\ &= Fr\sin(\theta).\end{align}\]

Le symbole que nous avons introduit dans cette expression, \(r_\perp\) est appelé le bras de levier. Le bras de levier est la distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et la ligne qui part de la force appliquée, comme le montre l'image ci-dessous. Dans cette image, le vecteur de position bleu représente la tige qui est tournée lorsqu'une force, représentée par le vecteur vert, agit sur son extrémité. L'angle \(\theta\) (la lettre grecque thêta) est l'angle entre les vecteurs de position et de force. Nous trouvons le bras de levier en prolongeant la ligne du vecteur force vers l'extérieur de façon à pouvoir tracer la ligne perpendiculaire de l'axe de rotation à la ligne de force prolongée. C'est le bras de levier. Parmi les problèmes de physique que l'on peut résoudre à l'aide de cette équation, il y a la recherche du couple nécessaire pour ouvrir une porte ou pour serrer un boulon avec une clé et - tu l'asdeviné - la recherche dupoint d'équilibre d'une balançoire à bascule.

Fig. 2 - Le couple est obtenu en multipliant l'ampleur de la force appliquée par le bras de levier.

Remarque que, puisque le vecteur force forme un angle par rapport au vecteur position, le vecteur force a une composante parallèle au vecteur position et une composante perpendiculaire au vecteur position. La composante parallèle ne contribue pas au couple puisqu'elle est dans la même direction que le vecteur position ; seule la composante perpendiculaire contribue au couple. Imagine que tu utilises une clé pour serrer un boulon. Si tu tires la clé vers l'extérieur, le boulon ne tournera pas parce que la force est parallèle à la clé. Tu dois appliquer une force perpendiculaire à la clé pour faire tourner le boulon.

En gardant à l'esprit ce qui précède, il est maintenant temps de déterminer quantitativement pourquoi ton ami et toi avez trouvé un équilibre statique après que ton ami se soit rapproché du levier de la balançoire à bascule. L'exemple ci-dessous a pour but de t'aider à comprendre les principes physiques en jeu.

Fig. 3 - Deux personnes sont assises sur une bascule. Le point de pivot se trouve au centre de la bascule

Deux personnes sont assises sur une balançoire. À gauche, une personne \(50\N,\Nmathrm{kg}\N) et à droite, une personne \N(75\N,\Nmathrm{kg}\N) . La balançoire est \N(1,2\N,\Nmathrm{m}\N) en tout avec un pivot au point central. La personne de gauche est assise \N(0.6\N,\Nmathrm{m}\N) loin du pivot. À quelle distance la \(75\,\mathrm{kg}\) personne devra-t-elle s'asseoir pour que la balançoire soit en équilibre statique ?

Pour que la balançoire soit en équilibre statique, le couple net sur le système doit être nul. Considérons le couple de chaque personne sur la balançoire, en choisissant le centre de la balançoire comme point d'origine. Remarquez que les bras de levier de chaque personne correspondent simplement à la distance qui les sépare du centre de la balançoire, car lorsque la balançoire est équilibrée, la force de gravité les attire vers le bas selon un angle de \(90^{\circ}\). Le couple de la personne de gauche est donc le suivant

\N[\N- \N{align*}\Ntau_1&=r_\Nperp F_1\N=-d_1 m_1 g,\Nfin{align*}}]

et le couple de la personne à droite est

\[\begin{align*}\tau_2&=r_\perp F_2\\&=d_2 m_2 g.\end{align*}\]

Nous pouvons alors résoudre la deuxième distance en fixant le couple net à zéro :

\[\begin{align*}\sum\tau&=0\\\tau_1+\tau_2&=0\\-d_1m_1g+d_2m_2g&=0\\d_1m_1g&=d_2m_2g\\d_1m_1&=d_2m_2\\d_2&=\frac{d_1m_1}{m_2}\\&=\frac{(50\,\mathrm{kg})(0.6\,\mathrm{m})}{75\,\mathrm{kg}}\\&=0.4\,\mathrm{m}.\end{align*}\]

Différence entre la force et le couple

Si tu compares les définitions de la force et du couple que nous avons données ci-dessus, tu remarqueras qu'elles présentent des caractéristiques similaires. Il en va de même pour leurs équations. Dans les deux cas, nous calculons la quantité que nous recherchons en faisant le produit de deux choses. Mais en nous interrogeant sur ce que nous multiplions dans chaque cas, nous découvrons la différence fondamentale entre la force et le couple. Alors que la force s'applique au mouvement vers l'avant en ligne droite, le couple s'applique au mouvement de rotation. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle nous parlons d'accélération angulaire lorsque nous pensons au couple.

Mais en quoi l'accélération angulaire est-elle différente de l'accélération linéaire ? Rappelle-toi que nous définissons l'accélération comme le taux de variation de la vitesse par rapport au temps :

\[\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}.\]

Contrastons avec l'accélération angulaire, que nous définissons comme le taux de changement de la vitesse angulaire par rapport au temps :

\[\vec{\alpha} = \frac{\Delta \vec{\omega}}{\Delta t}.\]

Comme c'est le cas, la vitesse angulaire \(\noméga\) (lettre grecque oméga) est liée à la vitesse par l'expression suivante :

\N- \Noméga = \Nfrac{v}{r}.\N]

Si l'on insère cette expression dans la définition de l'accélération angulaire,

\[\N- Début{alignement} \vec{\alpha} &= \frac{\Delta \vec{\omega}}{\Delta t} \N- &= \frac{\NDelta (\Nvec{v}/r)}{\NDelta t} \N- &= \Nfrac{1}{r}\Nfrac{\NDelta \Nvec{v}}{\NDelta t} \N- &= \frac{\vec{a}}}{r} \N- [fin{align}\N]

à condition que \(r\) reste fixe. Ainsi, lorsque l'objet en rotation est rigide, nous avons la relation simple suivante entre l'accélération linéaire et l'accélération angulaire :

\N- [\Nvec{a} = r\Nvec{\Nalpha}.\N]

Cette relation implique une autre information importante concernant la différence entre la force et le couple : leur différence d'unité.

Rappelle que l'unité de force est le newton :

\[1 \Nmathrm{N} = 1 \Nmathrm{kg}\cdot\frac{\Nmathrm{m}}{\Nmathrm{s}^2}.\N].

C'est logique puisque la force est la masse multipliée par l'accélération, que la masse est exprimée en kilogrammes et que l'accélération est exprimée en mètres par seconde au carré. D'autre part, le couple est le moment d'inertie multiplié par l'accélération angulaire. Les unités du moment d'inertie sont les kilogrammes multipliés par les mètres au carré, ces derniers provenant de la forme de l'objet. D'après ce qui précède, nous voyons que l'accélération angulaire est le produit de la distance par rapport à l'axe de rotation par l'accélération. La combinaison de ces deux faits nous permet de déterminer les unités du couple :

\[\begin{align}\left[\tau \right] &= \left[I \right]\cdot \left[ \alpha \right] \\&= \left[I \right]\cdot \left[ \frac{a}{r} \right] \&&= \left[I \right]\cdot \left[ \frac{a}{r} \r}] \&= \left(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \right) \cdot \left(\frac{1}{\mathrm{m}} \cdot \frac{\mathrm{m}} \cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\right)\&= \mathrm{kg} \cdot \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2} \N&= \Nmathrm{N} \cdot \mathrm{m}.\end{align}\]

Ainsi, la force et le couple sont également différents car ils n'ont pas les mêmes unités.

Relation entre la force et le couple

Nous avons déjà vu plus haut que le couple est l'analogue rotatif de la force linéaire. C'est pourquoi nous pouvons dire que la relation entre la force et le couple est une relation de dépendance logique. Cela signifie qu'en tant que grandeur physique, nous pouvons dériver le couple du concept de force. C'est ce que nous ferons dans la prochaine section. Avant cela, nous allons souligner une caractéristique essentielle commune à la force et au couple : le fait que la deuxième loi de Newton a un analogue rotatif.

Pour les objets qui subissent un mouvement de translation, nous trouvons les équations du mouvement à partir de la deuxième loi de Newton qui stipule que la force nette agissant sur l'objet est égale à la masse multipliée par l'accélération,

\[\sum \vec{F}=m\vec{a}.\]

L'analogue rotatif de la deuxième loi de Newton pour un objet en rotation est que le couple net agissant sur l'objet est égal au moment d'inertie multiplié par l'accélération angulaire,

\[\sum \vec{\tau}=I\vec{\alpha}.\]

Lorsque nous écrivons la deuxième loi de Newton pour un objet en mouvement de translation, nous considérons d'abord toutes les forces qui contribuent à la force nette. De la même façon, pour la deuxième loi de Newton en mouvement de rotation, nous devons prendre en compte toutes les forces qui appliquent un couple à l'objet. L'équilibre statique et dynamique s'applique à la fois à la force et au couple, ce qui signifie que lorsqu'un objet est au repos ou en mouvement avec une vitesse constante/vitesse angulaire, la force/couple nette est égale à zéro.

La force et le couple sont également des quantités vectorielles avec une magnitude et une direction. Nous avons défini l'ampleur du couple ci-dessus par l'équation :

\[\begin{align}\tau &= Fr_\perp.\end{align}\]

Lorsque nous considérons le couple comme un vecteur, nous devons utiliser la définition vectorielle à la place :

\[\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.\]

Cette équation nous indique que le vecteur couple est égal au produit croisé des vecteurs force et position. La direction du vecteur couple est le long de l'axe de rotation, et son signe dépend du sens de rotation ; une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et dans le sens des aiguilles d'une montre correspondent respectivement à un couple positif et négatif, en supposant que la direction positive est vers le haut.

Calcul du couple à partir de la force

Voyons maintenant comment dériver l'équation du couple à partir de la deuxième loi de Newton avec les forces. Pour cette dérivation, nous allons considérer la rotation d'une particule de masse \(m\) autour d'un axe de rotation. Nous commencerons par substituer la relation entre l'accélération et l'accélération angulaire, \(\vec{a}=\vec{\alpha}\times\vec{r},\N) à la deuxième loi de Newton sur le mouvement de translation :

\[\N- Début{align} \vec{F} &= m\vec{a} \\\N- &= m\vec{\alpha}\times\vec{r}. \N- [Fin{align}\N]

Maintenant, nous prenons le produit croisé des deux côtés avec le vecteur de position :

\[\vec{r}\times\vec{F} = m\vec{r}\times(\vec{\alpha}\times\vec{r}).\]

Nous pouvons simplifier cette équation en utilisant l'identité de produit croisé suivante :

\[\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}.\]

L'utilisation de cette règle nous donne :

\[\vec{r}\times\vec{F} = m(\vec{r}\cdot\vec{r})\vec{\alpha}-m(\vec{r}\cdot\vec{\alpha})\vec{r} .\]

Le premier produit point, \(\vec{r}\cdot\vec{r},\N) devient la magnitude du vecteur position au carré, \(r^2.\N) Puisque le vecteur accélération, \(\vec{\alpha},\N) pointe le long de l'axe de rotation, et que le vecteur position, \(\vec{r}\N) pointe perpendiculairement à celui-ci le long du plan de rotation, le produit point entre eux va à zéro : \(\vec{r}\cdot\vec{\alpha}=0.\) Ainsi, notre équation devient :

\[\vec{r}\times\vec{F} = mr^2\vec{\alpha}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N].

Nous reconnaissons \(mr^2\) comme le moment d'inertie de la particule autour de son axe de rotation, nous pouvons donc écrire :

\[\begin{align*}\vec{r}\times\vec{F} &= I\vec{\alpha}\\&=\vec{\tau}.\end{align*}\]

Ainsi, le couple sur la particule autour de l'axe de rotation est :

\[\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.\]

Nous pouvons utiliser une autre règle de produit croisé pour arriver à l'équation que nous avons utilisée ci-dessus en termes de bras de levier. L'identité du produit croisé que nous utilisons est

\[\vec{a} \times \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \sin(\theta),\r] donc l'équation du couple peut être écrite :

\[\begin{align*}\vec{\tau}&=\vec{r}\times\vec{F}\\&=\lvert \vec{r} \rvert \lvert \vec{F} \rvert \sin(\theta) \rvert&=(r\sin(\theta))F\rvert&=r_\perp F.\rend{align*}\r}]

Mesures de la force et du couple

Nous pouvons mesurer la force et le couple à l'aide de certains instruments dans un laboratoire. Pour mesurer la force, l'un des dynamomètres les plus courants est le compteur à ressort. Il contient un ressort et un crochet à attacher à l'objet mesuré, et il fournit la force nécessaire (en newtons) pour étirer le ressort. Les mesures de couple peuvent être effectuées à l'aide d'un capteur de couple. Les capteurs de couple utilisent un capteur ou un transducteur pour mesurer le couple exercé sur un objet et donnent la valeur du couple en newtons-mètres.

Fig. 4 - Un capteur de force utilisé pour mesurer la force appliquée.