Loi de Snell

Dérivation de la loi de Snell

Le diagramme ci-dessus montre la trajectoire d'un rayon lumineux qui passe d'un milieu ayant un indice de réfraction \( n_1 \N) à un milieu ayant un indice de réfraction \N( n_2 \N), où \N( n_2 > n_1 \N), et donc le rayon s'infléchit vers la normale. Tu as peut-être déjà rencontré l'équation qui relie la vitesse de la lumière à la longueur d'onde et à la fréquence d'une onde :

$$c=v\lambda,$$$

où \( c \N) et \N( v \N) représentent les mêmes quantités que dans la première équation, et \N( \Nlambda \N) est la longueur d'onde de la lumière mesurée en mètres.

Lorsqu'un rayon lumineux passe d'un matériau à un autre, sa fréquence ne change pas, mais sa vitesse change, ce qui signifie que sa longueur d'onde doit changer. Dans la situation illustrée ci-dessus, lorsque la lumière passe du premier milieu au suivant, sa vitesse diminue, et donc la longueur d'onde doit également avoir diminué. Le diagramme montre les fronts d'onde des rayons lumineux entrants et sortants. Tu peux voir qu'ils sont plus espacés après avoir traversé la frontière. Nous pouvons utiliser la trigonométrie ainsi que les équations énoncées précédemment pour prouver la loi de Snell.

Certaines des distances et des angles utiles sont indiqués sur le diagramme. \N- A et B représentent les distances que les rayons entrants et sortants parcourent en un certain temps (ils pourraient représenter les longueurs d'onde, ce qui donnerait le même résultat). Elles sont liées aux vitesses de la lumière dans les différents milieux par :

\N- A = v_1 T \N- \N]

\N- B = v_2 T \N]

Dans ces équations, \N( v_1 \N) et \N( v_2 \N) représentent les vitesses de la lumière dans les milieux \N( 1 \N) et \N( 2 \N), respectivement, et \N( T \N) est une période arbitraire mesurée en secondes.

Nous pouvons identifier deux triangles droits dans la limite. Ensuite, en utilisant la trigonométrie, nous pouvons relier les angles \N( \Ntheta_1 \N) et \N( \Ntheta_2 \N) aux côtés connus.

$$\sin(\theta_1)=\frac AC$$

$$\sin(\theta_2)=\frac BC$$

D'où :

$$\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\frac AB$$

$$\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\frac{v_1\mathrm T}{v_2\mathrm T}$$

$$\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\frac{v_1}{v_2}$$

Ensuite, nous pouvons exprimer les vitesses dans chaque milieu en fonction de leur indice de réfraction en utilisant la définition de l'indice de réfraction.

$$ v=\frac cn \Flèche droite \frac{v_1}{v_2}=\frac{\displaystyle\frac c{n_1}}{\displaystyle\frac c{n_2}}=\frac{n_2}{n_1}$$.

Cela conduit à l'expression :

$$\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\frac{n_2}{n_1},$$

ce qui peut être réarrangé pour donner la loi de Snell :

$$n_1\sin(\theta_1)=n_2\sin(\theta_2).$$

Équation de la loi de Snell

Telle qu'elle a été dérivée ci-dessus, la loi de Snell est la suivante

$$n_1\sin(\theta_1)=n_2\sin(\theta_2),$$

où \N( n_1 \N) est l'indice de réfraction du matériau du côté de la limite où le rayon lumineux commence et \N( n_2 \N) est l'indice de réfraction du second matériau. Le diagramme ci-dessous illustre ce que représentent les angles dans l'équation. La loi de Snell peut être utilisée pour trouver ces quantités lorsque la lumière est incidente sur différentes frontières. La procédure à suivre est expliquée dans la section suivante.

Le diagramme ci-dessus s'appelle un diagramme de rayons, et il présente plusieurs caractéristiques essentielles à retenir :

• La ligne perpendiculaire à la surface du nouveau milieu est appelée la normale. Si le rayon incident se trouve le long de la normale, il n'y aura pas de réfraction, et le rayon réfracté se trouvera également le long de la normale.

• L'angle entre le rayon lumineux entrant et la normale est appelé angle d'incidence.

• L'angle entre le rayon sortant et la normale du côté opposé de la frontière est appelé angle de réfraction.

Procédure de la loi de Snell

La loi de Snell peut être utilisée dans de nombreux problèmes pour déterminer le comportement d'un rayon lumineux lorsqu'il rencontre une limite entre deux milieux d'indices de réfraction différents. Il existe un moyen utile de vérifier tes calculs lorsque tu travailles avec la loi de Snell. Prends l'exemple d'une voiture qui passe d'une route lisse à un champ boueux en traversant une frontière. La voiture se déplace plus lentement dans le champ que sur la route. Si la voiture pénètre dans le champ en biais, le côté de la voiture qui entre en premier dans le champ se déplace plus lentement que le côté qui reste sur la route, ce qui fait que la voiture tourne dans la direction du côté le plus lent jusqu'à ce que les deux côtés se déplacent à la même vitesse. Nous pouvons considérer un rayon lumineux de la même manière :

• Si un rayon lumineux passe d'un milieu ayant un indice de réfraction plus faible à un milieu ayant un indice de réfraction plus élevé, la trajectoire du rayon sera courbée vers la normale (le rayon lumineux se déplace plus lentement dans le milieu ayant un indice de réfraction plus élevé, tout comme la voiture se déplace plus lentement dans le champ).

• Si un rayon lumineux passe d'un milieu ayant un indice de réfraction plus élevé à un milieu ayant un indice de réfraction plus faible, la trajectoire du rayon s'éloignera de la normale.

Exemple de la loi de Snell

Il existe un cas très particulier et intéressant de l'angle de réfraction que nous pouvons explorer à l'aide de la loi de Snell. Si nous augmentons l'angle d'incidence d'un rayon lumineux frappant une frontière, l'angle de réfraction augmentera également, jusqu'à ce qu'il soit supérieur à \( 90^\circ \). Alors, toute la lumière est réfléchie au lieu de sortir du premier milieu - c'est ce qu'on appelle la réflexion interne totale. Ce phénomène ne peut se produire que lorsque le rayon lumineux s'éloigne de la normale, c'est-à-dire lorsqu'il passe d'un matériau à faible indice de réfraction à un matériau à indice de réfraction plus élevé.

La loi de Snell est la suivante

$$n_1\sin(\theta_1)=n_2\sin(\theta_2)$$

Elle peut être réarrangée comme suit

$$\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\frac{n_2}{n_1}$$

Nous voulons trouver l'angle selon lequel la lumière est réfractée le long de la frontière, appelé angle critique.

Lorsque la lumière est réfléchie le long de la limite, l'angle réfracté est \N( 90^\circ \N), donc

$$\sin(\theta_2)=\sin(90)=1$$

et notre équation devient

$$\sin(\theta_c)=\frac{n_2}{n_1},$$

où \( \theta_c \) est l'angle critique. Ceci peut être réarrangé pour trouver l'angle critique :

$$\theta_c=\sin^{-1}(\frac{n_2}{n_1}).$$

La réflexion interne totale se produit lorsque l'angle d'incidence est supérieur à l'angle critique. Le phénomène de réflexion interne totale est utilisé dans de nombreuses applications différentes, telles que l'envoi d'informations par des fibres optiques et l'observation d'objets minuscules à l'aide de microscopes !

Fig. 6. La lumière est envoyée sur de longues distances le long des fibres optiques grâce à la réflexion interne totale, image de mammothmemory.

L'envoi d'informations à l'aide de fibres optiques est plus efficace que les fils de cuivre traditionnels, car les fibres optiques peuvent transporter plus d'informations avec moins de perte dans le signal. Ces fibres permettent de transférer environ 1 gigaoctet de données par seconde ! C'est incroyable ce que nous pouvons réaliser en comprenant la loi de Snell !