Changement de quantité de mouvement et impulsion

Changement d'élan et impulsion Introduction

Une force déséquilibrée accélère toujours un objet. Lorsqu'une force agit dans le sens opposé au mouvement d'un objet, celui-ci ralentit. À l'inverse, l'objet accélère positivement lorsqu'une force agit dans le même sens que le mouvement d'un objet. Par conséquent, une force extérieure modifiera toujours la vitesse d'un objet. Et si la vitesse de l'objet change, l'élan de l'objet change également.

Ce changement d'élan résultant de l'application d'une force extérieure s'appelle l'impulsion.

Relation entre le changement d'élan et l'impulsion

Commençons par examiner un résultat important connu sous le nom de théorème de l'impulsion-momentum il dit ce qui suit :

"Lorsqu'un objet en collision, est affecté par une force pendant une période de temps déterminée, il en résulte un changement de son élan. Ce changement d'élan est appelé impulsion et il est égal au produit de la force moyenne par la période de temps pendant laquelle elle a agi."

Bien que cela puisse ressembler à beaucoup de jargon de physique. En substance, l'impulsion quantifie la quantité d'élan qui change et nous indique comment la force agissant sur un système pendant un certain temps affecte son mouvement.

Nous pouvons calculer l'impulsion à l'aide de la formule suivante.

$$\boxed{\vec J = \int_{t_0}^t F(t) \mathrm{d}t}$$$.

Nous verrons plus tard comment parvenir à ce résultat, mais il est intéressant de noter que, grâce à cette relation, nous pouvons dire que les unités d'impulsion dans le système SI sont \( \mathrm{\frac{N}{s}} \), c'est-à-dire les unités de force multipliées par les unités de temps.

Formule de changement de momentum et d'impulsion

Maintenant, nous allons voir pourquoi la force extérieure agissant sur le système est liée à l'impulsion et comment nous pouvons obtenir l'équation du théorème impulsion-momentum.

Selon la deuxième loi du mouvement de Newton, les objets soumis à l'influence d'une force nette se déplacent avec une accélération :

$$\vec F = m\vec a.$$

Si nous réarrangeons cette expression, nous pouvons trouver la relation entre l'impulsion et l'élan linéaire. Puisque l'accélération est le taux de changement de la vitesse. Par conséquent, nous pouvons réécrire notre équation comme suit

$$\vec F = m\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}\mathrm{,}$$$.

puis réarrange nos variables pour obtenir

$$\vec F\Delta t=m\Delta\vec v\mathrm{.}$$$

Puisque \(\Delta\vec v=\vec{v_f}-\vec{v_i}\), nous pouvons aussi l'exprimer comme suit

$$\vec F\Delta t = m(\vec{v}_f-\vec{v}_i),$$

puis utiliser la propriété distributive de la multiplication pour obtenir l'équation suivante

$$\vec F\Delta t=m\vec{v}_f-m\vec{v}_i\mathrm{.}$$$

De plus, comme \(\vec p=m\vec v\), nous pouvons maintenant écrire notre équation de manière plus concise sous la forme suivante

$$\vec F\Delta t=\vec{p}_f-\vec{p}_i,$$$

puis réarranger les termes pour obtenir

$$\vec F\Delta t=\Delta\vec p\mathrm{.}$$.

D'après cette expression, l'impulsion appliquée à un objet est égale à la variation de la quantité de mouvement linéaire de l'objet. Cette formule fonctionne si nous utilisons la force moyenne agissant pendant l'intervalle de temps.

$$\boxed{\vec F_{\text{avg}}\Delta t=\Delta\vec p}.$$

Remarque également que la division par \(\Delta t\) prouve que le changement de l'élan d'un système par rapport au temps est égal à la force nette exercée sur le système :

$$\vec F_\text{net}\Delta t = \Delta\vec p$$.

$$\vec F_\text{net} = \frac{\Delta \vec p}{\Delta t}\\\Nmathrm{.}$$$

En termes de calcul, nous décrivons un taux de changement à l'aide des dérivées. Par conséquent, nous pouvons réécrire notre équation comme suit

$$\vec F_\text{net} = \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t}\\\mathrm{.}$$.

En intégrant les deux côtés de l'équation ci-dessus, on trouve l'expression intégrale du théorème de l'impulsion-momentum.

\begin{aligned}\vec F_\text{net} &= \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t}\\[8pt] \mathrm{d} \vec p & = \vec F_\text{net} dt\\[8pt] \int \mathrm{d} \vec p & = \int \vec F_\text{net} dt\N[8pt] \Delta \vec{p} &= \int_{t_0}^t \vec F(t) \mathrm{d}t\N[8pt]\vec J &= \int_{t_0}^t \vec F(t) \mathrm{d}t\Nend{aligned}

Et finalement, nous trouvons le résultat attendu : l'impulsion est égale à l'intégrale de la force nette exercée sur notre système pendant une période de temps spécifique.

Taux de variation de la quantité de mouvement

Prouvons maintenant que le taux de variation de l'élan est équivalent à la force nette agissant sur l'objet ou le système.

Nous avons tous entendu dire que la deuxième loi de Newton est \(F = ma\); cependant, lorsque Newton a écrit cette loi pour la première fois, il avait à l'esprit l'idée d'un élan linéaire. Voyons donc si nous pouvons écrire la deuxième loi de Newton un peu différemment. Commençons par

\[\vec{F}_{net} = m\vec{a}\]

nous permet de voir une corrélation entre la deuxième loi de Newton et l'élan linéaire. Rappelle que l'accélération est la dérivée de la vitesse. Par conséquent, nous pouvons écrire notre nouvelle formule de force comme suit

\[\vec{F}_{net} = m\frac{d\vec{v}}{dt}\]

Il est essentiel de noter le changement qui a été effectué. L'accélération n'est que le taux de variation de la vitesse, et le remplacer par \(\frac{d\vec{v}}{dt}\) est donc valable. Comme la masse m reste constante, nous constatons que la force nette est égale au taux de variation de la quantité de mouvement :

\[\vec{F_{net}} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = \frac{d\vec{p}}{dt}\].

Nous pouvons réarranger ceci pour obtenir

\[d\vec{p} = \vec{F}_{net} dt\]

Avec ce nouveau point de vue sur la deuxième loi de Newton, nous voyons que le changement de quantité de mouvement, ou d'impulsion, peut être écrit comme suit :

\[\vec{J} = \Delta \vec{p} = \int{d\vec{p}} = \int{\vec{F}_{net}dt}\].

• Le changement d'élan, ou impulsion (représenté par la lettre majuscule \(\vec{J}\)) est la différence entre l'élan initial et l'élan final d'un système. Elle est donc égale à la masse multipliée par le changement de vitesse.
• La deuxième loi de Newton est un résultat direct du théorème impulsion-momentum lorsque la masse est constante ! Le théorème de l'impulsion et du momentum établit un lien entre la variation de l'élan et la force nette exercée : \(\vec{F}_{net} = \frac{d\vec{p}}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt} = m \vec{a}\).
• Par conséquent, l'impulsion est donnée par : \(\vec{J} = \int{\vec{F}_{net} dt}\)

Théorème de la variation du moment cinétique et de l'impulsion

Comme nous l'avons déjà mentionné, nous pouvons exprimer mathématiquement le théorème de l'impulsion et du momentum comme suit :

$$\boxed{\vec J = \int_{t_0}^t F(t) \mathrm{d}t = \Delta \vec p.}$$$.

Mais as-tu remarqué que la deuxième loi de Newton n'est qu'une conséquence ou une implication du théorème de l'impulsion-linéaire lorsque la masse est constante ?

$$F_{net} = m\vec a =m\frac{\mathrm{d} \vec v}{\mathrm{d} t} =\frac{\mathrm{d} (m\vec v)}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t}. $$

Avec cela, nous pouvons dériver la relation entre l'impulsion et le changement d'élan grâce à l'utilisation du calcul et de la définition de l'impulsion ! En substituant ce résultat à la définition de l'impulsion, puis en simplifiant et en intégrant, on obtient le résultat attendu.

$$ \begin{aligned}\vec J &= \int_{t_i}^{t_f} {F(t)}\mathrm{d}t\\[8pt] \vec J &= \int_{t_i}^{t_f} {\frac{\mathrm{d}\vec{p}{mathrm{d}t} }\mathrm{d}t\[8pt] J &= \int_{t_i}^{t_f} \mathrm{d}\vec{p}\\[8pt] J &= \vec p_f -\vec p_i\[8pt] J &= \Delta \vec p. \n-{aligned}}$$

Nous pouvons également écrire une version de la deuxième loi de Newton pour un système se déplaçant à vitesse constante mais à masse variable en utilisant le théorème impulsion-momentum.

$$\vec F_{net} =\frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t}\vec{v} $$$

Connaître cette relation intégrale présente d'autres avantages. Dans un graphique force-temps pour un objet, la zone entre le graphique et l'axe horizontal donne l'impulsion appliquée à l'objet.

Étant donné que l'impulsion et la quantité de mouvement linéaire sont des quantités vectorielles, nous devons faire attention à leurs signes lorsque nous utilisons les zones situées sous le graphique. Par exemple, l'impulsion est positive si la zone entre le graphique et l'axe horizontal est au-dessus de l'axe du temps. À l'inverse, l'impulsion est négative si elle se situe en dessous de l'axe des temps.

Pour trouver la surface du graphique, il faut multiplier la force et l'intervalle de temps correspondant. La somme des aires sera égale à l'impulsion. Dans ce cas, l'impulsion sera égale à \(J=F_1 t-F_2 t\).

Fig. 3 - Dans un graphique linéaire-momentum-temps, la pente donne la force exercée sur un objet. Cette force peut être positive ou négative en fonction de la pente.

Si les amplitudes des forces \(F_1\) et \(F_2\) sont égales, le graphique de l'élan linéaire en fonction du temps de l'objet sera tel qu'illustré à la figure 3. Dans le graphique de l'élan linéaire en fonction du temps, la pente donne la force. Notez que la pente entre \(t=0\) et \(t\) est \(\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{\Delta t}{\Delta t} = F\) mais de \(t\) à \(2t\) est \( -F. \).

Changement de moment et différence d'impulsion

L'impulsion est égale à la variation de l'élan, par conséquent, l'élan et l'impulsion ne sont pas les mêmes. Comme il s'agit de concepts différents mais liés, cela peut être un peu déroutant, alors examinons-les en détail.

Exemples de variation de l'élan et de l'impulsion

Si tu n'en as pas encore assez des graphiques de force en fonction du temps, tu aimeras l'exemple suivant.

Je sais qu'on t'a déjà martelé tout ça, mais je te promets un dernier exemple lié à l'espace ! Il n'y aura pas de graphique pour celui-ci, alors tu peux souffler un peu.

D'accord, d'accord, je te comprends. Nous allons donc changer les choses. Au lieu d'un graphique de la force en fonction du temps, nous allons faire un exemple avec un graphique de l'élan linéaire en fonction du temps.

Ton panier est probablement déjà bien rempli de concepts de physique. Alors, après avoir enregistré toutes ces informations dans ta banque de cerveaux, va faire quelque chose de totalement abrutissant. Mais d'abord, conserve ces concepts pour plus tard, car ils sont très importants.