Scalaire et Vecteur

Dans la vie de tous les jours, nous utilisons indifféremment la distance, le déplacement, la vitesse, la vélocité, l'accélération, etc. Pour les physiciens, toutes les quantités, qu'elles soient statiques ou en mouvement, peuvent être différenciées en les classant en scalaires ou en vecteurs.

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    Une grandeur qui n'a qu'une magnitude (taille) est appelée grandeur scalaire. La masse, l'énergie, la puissance, la distance et le temps sont des exemples de quantités scalaires parce qu'elles n'ont pas de direction associée.

    Une quantité associée à une magnitude et à une direction est une quantité vectorielle. L'accélération, la force, la gravité et le poids sont des quantités vectorielles. Toutes les quantités vectorielles sont associées à une direction spécifique.

    Scalaires et vecteurs : signification et exemples

    Comme nous l'avons déjà dit, une quantité ayant une magnitude et une direction est connue sous le nom de quantité vectorielle.

    Le poids est un exemple de quantité vectorielle car il est le produit de la masse et de l'accélération due à la gravité. L'accélération de la pesanteur a une direction verticale vers le bas, , ce qui fait du poids une quantité vectorielle .

    Voyons quelques exemples de scalaires et de vecteurs.

    Supposons que tu aies une boîte et que tu la déplaces d'une distance de 5 mètres.

    Scalaire et vecteur Exemple de vecteur StudySmarter

    Figure 1. Le déplacement d'un objet d'un point A à un point B dans une direction donnée est un vecteur.

    Si tu dis à quelqu'un que la distance entre les points A et B est de 5 mètres, tu parles d'une quantité scalaire car tu ne spécifies aucune direction. Cinq mètres n'est qu'une grandeur (distance), et la direction peut être n'importe laquelle. La distance est donc une quantité scalaire.

    Cependant, si tu dis à quelqu'un que tu as déplacé la boîte de 5 mètres vers la droite (vers l'est), comme le montre la figure 1, tu parles alors d'une quantité vectorielle. Pourquoi ? Parce que tu as maintenant spécifié une direction associée au mouvement. Et en physique, on parle de déplacement. Le déplacement est donc une quantité vectorielle.

    Disons maintenant qu'il t'a fallu 2 secondes pour déplacer la boîte vers la droite.

    Scalaire et vecteur Quantité vectorielle relative au temps StudySmarter

    Figure 2. Diagramme montrant un vecteur de déplacement par rapport au temps.

    Si tu devais calculer à quelle vitesse tu as déplacé la boîte, tu calculerais la vitesse du mouvement. Dans l'exemple ci-dessus, la vitesse est de :

    \(Vitesse = \frac{5 \space m}{2 \space s} = 2.5 \space m/s\)

    La vitesse est une quantité scalaire car elle n'a pas de direction.

    Cependant, si tu dis que la boîte s'est déplacée à une vitesse de 2,5 m/s vers la droite, cela devient une quantité vectorielle. La vitesse avec une direction est la vélocité, et un changement de vélocité est, à son tour, connu sous le nom d'accélération (m/s2), qui est également une quantité vectorielle.

    ScalaireVecteur
    distance déplacement
    vitessevitesse et accélération

    Masse et poids : laquelle est une quantité scalaire et laquelle est une quantité vectorielle ?

    La masse et le poids d'un corps peuvent sembler identiques, mais ce n'est pas le cas.

    Masse : La mesure quantitative de l'inertie d'un corps, c'est-à-dire la tendance d'un corps à résister à la force qui peut provoquer un changement de sa vitesse ou de sa position. La masse a pour unité SI le kilogramme.

    Poids : L'attraction gravitationnelle agissant sur une masse. Son unité SI est le newton.

    Scalaire

    La masse n'a pas de direction, et elle sera la même quel que soit l'endroit où tu te trouves dans l'univers ! Nous pouvons donc classer la masse dans la catégorie des quantités scalaires.

    Vecteur

    Le poids, quant à lui, est la force qui agit sur un objet, et comme la force a une direction, le poids est une quantité vectorielle.

    Une autre façon de voir les choses est de placer un objet sur la Terre et un autre objet de même masse sur la Lune. Les deux objets auront la même masse mais un poids différent en raison de l'attraction gravitationnelle sur la Lune (1,62 m/s2), qui est plus petite par rapport à la Terre.

    Comment représenter les vecteurs ?

    Nous pouvons représenter les vecteurs par une flèche, comme indiqué ci-dessous.

    Représentation scalaire et vectorielle StudySmarter

    Figure 3. Représentation d'un vecteur. Wikimedia Commons

    La longueur représente la magnitude, la queue est le point initial d'un vecteur, le sens d'un vecteur est donné par l'ordre de deux points sur une ligne parallèle au vecteur, et l'orientation t'indique sous quel angle le vecteur pointe. La combinaison de l'orientation et du sens précise la direction du vecteur.

    Exemples de vecteurs : comment effectuer une addition de vecteurs ?

    Voyons quelques exemples de la façon d'effectuer l'addition de vecteurs.

    Disons que tu as deux vecteurs de 10N et 15N, et qu'ils pointent tous les deux vers l'est. La somme de ces vecteurs devient 25N vers l'est.

    Addition scalaire et vectorielle Exemple d'addition vectorielle StudySmarter

    Figure 4. Les vecteurs dans la même direction sont additionnés.

    Maintenant, si nous changeons la direction du 15N vers l'ouest (-15 N), le vecteur résultant devient -5 N (pointant vers l'ouest). Une quantité vectorielle peut avoir des signes positifs et négatifs. Le signe d'un vecteur indique que la direction du vecteur est opposée à la direction de référence (qui est arbitraire).

    Scalaire et vecteur Exemple de soustraction vectorielle StudySmarter

    Figure 5. Les vecteurs dans la direction opposée sont soustraits.

    Bien sûr, toutes les additions de vecteurs ne sont pas aussi simples que celles présentées ci-dessus. Que ferais-tu si les deux vecteurs étaient perpendiculaires l'un à l'autre ? C'est là qu'il faut improviser un peu.

    Règle de la tête à la queue

    Avec cette règle, nous pouvons calculer le vecteur résultant en joignant la queue du premier vecteur à la tête du second vecteur. Jette un coup d'œil aux figures ci-dessous.

    Scalaire et vecteur Règle de la tête à queue Exemple de vecteur StudySmarter

    Figure 6. Des vecteurs perpendiculaires sont joints par la règle de la tête à la queue.

    Un vecteur force de 30 N agit dans la direction de l'est, tandis qu'un vecteur force de 40 N agit dans la direction du nord. Nous pouvons calculer le vecteur résultant en joignant la queue du vecteur de 30 N à la tête du vecteur de 40 N. Les vecteurs sont perpendiculaires, nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagore pour résoudre le vecteur résultant, comme le montre la figure 7.

    Scalaire et vecteur Exemple de vecteur résultant StudySmarter

    Figure 7. Addition de vecteurs perpendiculaires.

    Avec un peu de trigonométrie et en appliquant le théorème de Pythagore, le vecteur résultant devient 50 N. Maintenant, comme nous en avons discuté, une quantité vectorielle a une magnitude ainsi qu'une direction, nous pouvons donc calculer l'angle du vecteur 50 N en utilisant une tangente inverse de 40/30 (perpendiculaire/base). L'angle est alors de 53,1° par rapport à l'horizontale pour l'exemple ci-dessus.

    Résoudre un vecteur en ses composantes

    En utilisant le même exemple que ci-dessus, que se passerait-il si nous n'avions que la force vectorielle de 50 N avec un angle par rapport à l'horizontale et qu'on nous demandait de trouver ses composantes horizontale et verticale ?

    La division d'un vecteur unique en deux vecteurs ou plus qui produisent un effet similaire au vecteur d'origine s'appelle la résolution des vecteurs.

    Prenons un exemple pour expliquer ce concept plus en détail.

    Supposons qu'une force vectorielle F de 150N soit appliquée à un angle de 30 degrés par rapport à la surface.

    Scalaire et vecteur Résoudre les vecteurs exemple StudySmarter

    Figure 8. Vecteur à un angle.

    Nous pouvons diviser le vecteur F en une composante horizontale (Fx) et une composante verticale (Fy) comme indiqué ci-dessous :

    Scalaire et vecteur Exemple de décomposition vectorielle StudySmarter

    Figure 9. Résolution des vecteurs.

    Le calcul de Fx et Fy en utilisant la trigonométrie nous donne :

    \ F_x = \cos(30) \cdot F = 129.9 \space N\]

    \NF_y = \Nsin(30) \Ncdot F = 75 \Nspace N\N]

    Résoudre les composantes d'une force sur un plan incliné

    Comme tu l'as peut-être déjà compris, les calculs en physique ne sont jamais aussi simples ! Toutes les surfaces ne sont pas horizontales - il arrive que les surfaces soient inclinées et que tu doives calculer et résoudre les composantes le long d'un plan incliné.

    Scalaire et vecteur Exemple de décomposition vectorielle du plan incliné StudySmarter

    Figure 10. La direction du poids sur un plan incliné.

    La figure 10 montre une boîte sur une surface formant un angle θ par rapport à l'horizontale. Le poids de la boîte, mg, agit vers le bas avec une masse m et l'attraction gravitationnelle g.

    Si nous divisons le vecteur mg en deux composantes, l'une horizontale et l'autre verticale,

    • la composante verticale sera perpendiculaire à la surface inclinée, et
    • la composante horizontale de mg sera parallèle à la surface inclinée.

    Lignes de forces scalaires et vectorielles Exemple StudySmarter

    Figure 11. Résolution du vecteur mg sur une surface inclinée.

    L'angle θ entre les mg et mgcosθ sera le même que l'angle de la surface inclinée par rapport à l'horizontale. La force qui accélérera la boîte vers le bas de la pente sera mgsinθ (Fg), et la force de réaction Fn (d'après la troisième loi de Newton) sera égale à mgcosθ. D'où ,

    \[F_g = m \cdot g \cdot \sin(\theta)\]

    \[F_n = m \cdot g \cdot \cos(\theta)\]

    Scalaires et vecteurs Vecteurs sur un plan incliné exemple StudySmarter

    Figure 12. Résolution des vecteurs et de la direction du mouvement sur un plan incliné.

    Équilibre des systèmes de forces coplanaires

    Si des forces agissent sur un corps et que ce dernier est immobile ou se déplace à une vitesse constante (sans accélération), on parle d'équilibre. Les lignes de force doivent passer par le même point pour qu'un objet soit en équilibre.

    Dans le diagramme ci-dessous, une échelle uniforme est appuyée contre un mur lisse (sans frottement). Le poids de l'échelle agit vers le bas et la force de réaction normale agit à un angle de 90° par rapport au mur.

    Équilibre scalaire et vectoriel des forces exemple StudySmarter

    Figure 13. Une échelle appuyée contre un mur est un exemple de corps en équilibre.

    Si tu prolonges ces forces, tu verras qu'elles se croisent en un certain point. Comme l'objet est en équilibre, la force provenant du sol doit également passer par le même point que les autres forces.

    Lignes scalaires et vectorielles des forces en équilibre exemple StudySmarter

    Figure 14. Les lignes de force se croisent en un point commun si un corps est en équilibre.

    En décomposant la force du sol en ses composantes verticale et horizontale, la force de réaction normale du sol agit vers le haut, et la force de frottement du sol agit le long de la surface.

    Lignes de force scalaires et vectorielles exemple StudySmarter

    Figure 15. Résultante des vecteurs de frottement et du sol.

    Essentiellement, ce qui se passe, c'est que toutes les forces s'annulent.

    • La force normale du mur (force de droite) = la force de frottement agissant le long du sol (force de gauche).
    • Le poids de l'échelle (force descendante) = la force de réaction du sol (force ascendante).

    Scalaire et vecteur - Principaux points à retenir

    • Une quantité scalaire n'a qu'une grandeur, alors qu'une quantité vectorielle a une grandeur et une direction.
    • Un vecteur peut être représenté par une flèche.
    • Pour trouver le vecteur résultant, les vecteurs de même direction sont additionnés, tandis que les vecteurs de direction opposée sont soustraits.
    • Le vecteur résultant de deux vecteurs peut être calculé à l'aide de la règle de la tête à la queue, et le vecteur résultant de vecteurs perpendiculaires peut être calculé à l'aide du théorème de Pythagore.
    • Si un vecteur fait un angle avec l'horizontale (ou la verticale), il peut être décomposé en ses composantes x et y.
    • La ligne des forces doit se croiser en un point commun et s'annuler pour qu'un objet soit en équilibre.
    Questions fréquemment posées en Scalaire et Vecteur
    Quelle est la différence entre un scalaire et un vecteur en physique?
    La différence est que les scalaires n'ont que la magnitude (comme la température), tandis que les vecteurs ont à la fois la magnitude et la direction (comme la vitesse).
    Comment identifier un vecteur en physique?
    Un vecteur est identifié par sa magnitude et sa direction. Par exemple, la force exercée à 30 N vers le nord est un vecteur.
    Quels sont des exemples de quantités scalaires?
    Les exemples de quantités scalaires incluent la température, la masse, le temps et l'énergie.
    Pourquoi est-il important de connaître la différence entre scalaire et vecteur?
    Il est important de les distinguer car cela affecte le calcul et l'analyse des phénomènes physiques, notamment en mécanique et en dynamique.

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    Lequel des éléments suivants a une magnitude mais pas de direction ?

    Comment calculer le vecteur résultant si les vecteurs sont dans la même direction ?

    Une force normale est-elle de direction égale et opposée ?

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