Mouvement parabolique

Lorsqu'un objet se déplace dans une seule dimension, qu'elle soit verticale ou horizontale, on parle de mouvement linéaire. En revanche, le mouvement projectif est un mouvement dans les directions horizontale et verticale à la fois. Le mouvement d'un objet sur une trajectoire courbe (parabole) sous l'influence de la gravité est appelé mouvement de projectile.

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Sauter à un chapitre clé

    Le mouvement deprojectile est un mouvement à la fois horizontal et vertical.

    Pour t'habituer à l'idée du mouvement de projectile, imagine que nous tirons un boulet de canon à un angle par rapport à l'horizontale. Le boulet sera lancé en l'air et parcourra une certaine distance à la verticale avant de toucher le sol à une certaine distance du canon. Le boulet de canon suit une trajectoire parabolique, comme tu peux le voir sur la figure 1.

    Mouvement de projectile Parabole trajectoire d'un boulet de canon en mouvement de projectile StudySmarter

    Figure 1. Le boulet de canon suit une trajectoire parabolique et se déplace à la fois verticalement et horizontalement.

    Mouvement de projectile : mouvement horizontal et vertical

    Bien que le mouvement de projectile soit le mouvement dans les directions horizontale et verticale simultanément, ces deux directions sont indépendantes l'une de l'autre. Par conséquent, tu peux utiliser séparément les équations de mouvement linéaire pour le mouvement horizontal et le mouvement vertical lorsque tu résous des questions associées au mouvement de projectile.

    Pour mieux comprendre cette idée, considère deux billes de même taille et de même poids. Tu lâches une bille d'une hauteur spécifique et tu lances l'autre horizontalement de la même hauteur. Tant que tu ne tiens pas compte de la résistance au vent, les deux billes toucheront le sol en même temps car la composante horizontale n'influence pas le mouvement vertical de la bille.

    La distinction entre le mouvement dans les directions x et y est importante car elle nous montre que nous pouvons utiliser les équations linéaires des mouvements indépendamment pour les directions x et y. Voyons quelques scénarios ci-dessous pour illustrer davantage ce concept.

    N'oublie pas de consulter notre explication sur les mouvements linéaires !

    Calculer le mouvement d'un projectile sans angle

    Pour calculer le mouvement d'un projectile sans angle, nous devons connaître les équations du mouvement, qui sont :

    \N-[v = u + at\N]

    \[s = u \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2\]

    \N- [v^2 = u^2 + 2 a \Ncdot s\N]

    Dans ces équations, v est la vitesse finale mesurée en mètres par seconde (m/s), u est la vitesse initiale mesurée en m/s, a est l'accélération mesurée en mètres par seconde au carré (m/s2), s est le déplacement mesuré en mètres (m), et t est le temps mesuré en secondes (s).

    Exemples d'équations de mouvements de projectiles sans angle

    Supposons que tu aies un corps qui roule d'une falaise avec une vitesse de 5 m/s. Le corps touche le sol à une distance d de la base d'une falaise qui a une hauteur de 30 m. La figure 3 montre le mouvement du projectile sans angle, c'est-à-dire lancé parallèlement à l'horizontale. Calcule la distance d couverte par l'objet.

    Mouvement de projectile Mouvement de projectile sans angle StudySmarter

    Figure 3. Mouvement du projectile sans angle. Usama Adeel - StudySmarter Originals

    Solution

    Pour calculer d, la distance à partir de la base de la falaise, nous devons mieux comprendre le mouvement dans les directions x et y.

    En supposant qu'il n'y a pas de résistance de l'air et que seule la force gravitationnelle agit sur la balle, la vitesse dans la direction x sera de 5m/s jusqu'à ce que la balle touche le sol. Dans la direction y, la balle a une accélération constante de 9,81m/s2, qui est causée par la force gravitationnelle.

    Mais quelle est la vitesse initiale dans la direction y ?

    Comme nous l'avons mentionné précédemment, étant donné que les mouvements dans les directions x et y sont indépendants l'un de l'autre, la vitesse de 5m/s dans la direction x n'a aucun impact sur le mouvement dans la direction y. Par conséquent, la balle roule de la falaise avec une vitesse initiale de 0m/s dans la direction y.

    Le déplacement horizontal sera de -30 m parce que la direction descendante est considérée comme négative ainsi que l'accélération de la chute libre, qui est de -9,81 m/s2.

    Mouvement de projectile Mouvement de projectile sans angle StudySmarter

    Figure 4. La vitesse dans la direction y augmentera en raison de l'accélération dans cette direction. La vitesse dans la direction x restera constante. Usama Adeel - StudySmarter Originals

    Pour la direction x :

    Vitesse initiale : ux = 5 m/s

    Distance parcourue dans la direction x : dx = ?

    Pour la direction y :

    Vitesse initiale : uy = 0 m/s

    Déplacement :sy = -30 m

    Accélération due à la chute libre =ay = -9,81 m/s2

    À partir du mouvement dans la direction y, nous pouvons calculer le temps t car le temps est le même dans les directions x et y. En utilisant la deuxième équation du mouvement et en introduisant les valeurs, nous obtenons :

    \[s_y = u_y \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2\]

    \[-30 m = 0 \cdot t + \frac{1}{2} (9,81 m/s^2) \cdot t^2\]

    \N- [t = 2,47 s\N]

    Par conséquent, le temps mis par la balle pour atteindre le sol depuis une hauteur de 30 m est de 2,47 s.

    Pour calculer la distance parcourue depuis la base de la falaise dx, nous utilisons à nouveau la deuxième équation du mouvement, mais cette fois-ci pour le mouvement dans la direction x.

    \[d_x = u_x \cdot t + \frac{1}{2} a_x \cdot t^2\]

    \[d_x = 5 m/s \cdot (2.47 s) + \frac{1}{2} (0) \cdot (2.47s)^2\]

    \N- [d_x = 12,35 m\N]

    La distance parcourue par la balle dans la direction x avec une vitesse initiale de 5m/s depuis une hauteur de 30m est de 12,35m.

    Tu peux utiliser n'importe quelle équation du mouvement pour calculer une entité spécifique en fonction du problème lié au mouvement d'un projectile.

    Calculer le mouvement d'un projectile à un angle

    Ci-dessus, nous avons discuté du mouvement de projectile d'un objet lancé sans angle. Pour le mouvement de projectile avec un angle, le principe est le même que le mouvement de projectile sans angle. Mais pour rendre les choses un peu plus délicates, résolvons un problème pour le lancement et l'atterrissage sur des élévations différentes.

    Exemples d'équations de mouvement de projectile avec des élévations différentes

    Jette un coup d'œil à la figure ci-dessous. Un boulet de canon est tiré d'une falaise à une vitesse initiale de 90 m/s depuis une hauteur de 25 m du sol à un angle de 53°. Calcule la distance parcourue par le boulet de canon dans la direction x.

    Mouvement du projectile Mouvement du projectile à un angle StudySmarter

    Figure 5. Mouvement d'un projectile à un angle. Usama Adeel - StudySmarter Originals

    Solution

    Comme tu peux le voir sur la figure ci-dessus, le sol est surélevé de 9 m par rapport à la base de la falaise où le boulet de canon va atterrir. Cela signifie que le déplacement dans la direction y ne sera pas de 25 m - il sera différent.

    Commençons par décomposer le vecteur vitesse en ses composantes.

    Mouvement de projectile Résolution des vecteurs dans le mouvement de projectile à un angle StudySmarter

    Figure 6. Résolution du vecteur en ses composantes. Usama Adeel - StudySmarter Originals

    Vitesse initiale dans la direction x : Vx=90cos53m/s

    Vitesse initiale dans la direction y : Vy=90sin53m/s

    Le déplacement sera de -16 m car la direction vers le bas est considérée comme négative.

    Mouvement du projectile Mouvement du projectile à un angle StudySmarter

    Figure 7. Mouvement du projectile à un angle. Le déplacement sera différent car le sol est surélevé à l'endroit où la balle atterrit. Usama Adeel - StudySmarter Originals

    En utilisant la deuxième équation du mouvement et en introduisant les valeurs, nous pouvons calculer le temps t qu'il faut au boulet de canon pour toucher le sol à partir du lancement. Note que le temps pris sera le même dans la direction x ou y.

    \[s_y = u_y \cdot t + \frac{1}{2} a_y \cdot t^2\]

    \[-16 = (90 \sin 53 m/s) \cdot t + \frac{1}{2} (-9,81 m/s^2) \cdot t^2\]

    \N- [t = 14,45 s\N]

    Comme la résistance de l'air est négligeable, la vitesse dans la direction x sera constante, c'est-à-dire qu'elle sera de 90cos53 tout au long du mouvement. Nous pouvons calculer la distance parcourue en multipliant la vitesse dans la direction x par le temps écoulé. Par conséquent,

    \[d_x = (90 \cos 53 m/s) \cdot 14.45 s\]

    \N- [d_x =

    La distance horizontale parcourue par le boulet de canon tiré est donc de 782,66 m.

    Facteurs affectant le mouvement des projectiles

    Dans les deux scénarios ci-dessus, nous avons supposé que la résistance de l'air était négligeable. Dans la pratique, cependant, nous ne pouvons pas ignorer la résistance de l'air. De même, divers autres facteurs influencent la trajectoire d'un mouvement de projectile. Examinons ces facteurs.

    La gravité

    Même si la gravité n'affecte pas directement le mouvement horizontal, le temps de chute de l'objet diminuera si la gravité est plus importante. Par conséquent, la composante verticale du mouvement du projectile sera limitée. Par conséquent, l'objet restera moins longtemps en l'air et la distance parcourue dans la direction x sera moins importante.

    Résistance de l'air

    La résistance de l'air diminue la composante horizontale de la trajectoire. Cependant, la résistance de l'air est également influencée par d'autres facteurs, tels que :

    • Le rapport surface/volume : un objet ayant une plus grande surface est affecté par une plus grande résistance à l'air.
    • La surface de l'objet : une surface rugueuse sera davantage impactée par la résistance de l'air.
    • La vitesse : si la vitesse d'un objet augmente, la résistance à l'air augmentera également.

    La résistance de l'air affectera toujours le projectile, quel que soit l'angle ou la hauteur d'où il est lancé.

    Lavitesse de lancement est un autre facteur qui affecte le mouvement du projectile. Si la vitesse de lancement est plus grande, la distance parcourue par un objet sera également plus grande.

    L'angle de lancement

    Si l'on considère que la résistance de l'air est négligeable et que les points de lancement et d'atterrissage sont à la même hauteur, on considère que l'angle optimal pour une trajectoire maximale est de 45°.

    Cependant, si l'angle de libération est supérieur ou inférieur à 45°, alors une distance plus courte sera parcourue dans l'axe horizontal ou vertical. La figure 8 illustre un objet lancé à différents angles et la distance parcourue.

    Dans le graphique, la vitesse de lancement est de 10 m/s et on suppose qu'il n'y a pas de résistance de l'air. T est le temps de vol, t est le temps écoulé depuis le lancement, R est la portée et H est le point le plus élevé de la trajectoire. La longueur représente la vitesse à chaque point du graphique.

    Mouvement du projectile Angle de libération du mouvement du projectile StudySmarter

    Figure 8. Trajectoires de projectiles lancés à différents angles d'élévation. Cmglee CC BY-SA 3.0

    Hauteur du lancement

    Si un objet est lancé de plus haut, la distance parcourue sera plus grande car la composante horizontale influencera un objet pendant une plus longue période.

    Supposons que tu aies deux objets à des hauteurs différentes, et que tu veuilles lancer chacun d'eux de manière à ce que les deux objets couvrent la même distance. Il n'y a pas de résistance de l'air, les deux objets ont la même taille et la même masse, et ils sont lancés à la même vitesse.

    L'objet lancé d'une plus grande hauteur devra être lancé à un angle décroissant et vice versa pour l'objet lancé d'une plus petite hauteur. Il existe donc une relation entre la hauteur de lancement et la distance parcourue horizontalement.

    L'effet

    L'ampleur de l'effet d'une balle détermine également la distance qu'elle peut parcourir une fois que tu l'as frappée. En bref, la portée de la distance augmente si tu frappes un backspin. L'inverse se produit pour le topspin.

    Mouvement de projectile - Points clés

    • Le mouvement de projectile est un mouvement d'un objet dans une trajectoire courbe (parabole) sous l'influence de la gravité.
    • Le mouvement de projectile se produit lorsqu'un objet se déplace en deux dimensions, c'est-à-dire qu'il se déplace simultanément dans les directions horizontale et verticale.
    • Les directions horizontale et verticale d'un mouvement de projectile sont indépendantes l'une de l'autre, mais leurs périodes de temps seront les mêmes.
    • Nous pouvons diviser le vecteur projectile en ses composantes x et y. Dans un mouvement de projectile, ni les composantes horizontales ni les composantes verticales n'ont d'impact l'une sur l'autre.
    • Nous pouvons également utiliser les équations linéaires des mouvements indépendamment pour les directions horizontales et verticales.

    Images

    Mouvement composé. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Compound_Motion.gif

    Mouvement idéal du projectile pour différents angles. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ideal_projectile_motion_for_different_angles.svg

    Questions fréquemment posées en Mouvement parabolique
    Qu'est-ce qu'un mouvement parabolique ?
    Un mouvement parabolique est la trajectoire d'un objet sous l'influence de la gravité, formant une parabole.
    Comment se décompose le mouvement parabolique ?
    Le mouvement parabolique se décompose en deux mouvements : un mouvement horizontal uniforme et un mouvement vertical uniformément accéléré.
    Quelle est la formule du mouvement parabolique ?
    La formule est y = x*tan(θ) - (g*x^2)/(2*v^2*cos^2(θ)), où g est la gravité, v est la vitesse initiale, et θ est l'angle de lancement.
    Quels sont les exemples de mouvement parabolique ?
    Les exemples incluent une balle lancée, une balle de canon ou tout objet lancé à un angle dans un champ gravitationnel.
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