Conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement

Loi sur la conservation de l'énergie

En physique, nous concentrons notre attention sur un système. Il existe différents types de systèmes, mais l'un d'entre eux est plus particulièrement un système isolé.

Dans un système isolé, la quantité totale d'énergie est toujours la même. C'est ce qu'on appelle la loi de la conservation de l'énergie.

Par conséquent, l'énergie n'est convertie qu'entre différentes formes. Un gain d'un type d'énergie doit se traduire par une perte égale d'un autre type d'énergie, de sorte que le total est toujours le même.

Les différentes formes d'énergie relèvent de l'une des deux catégories suivantes : l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. Ainsi, l'énergie totale d'un système ou d'un objet est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle.

L'énergie cinétique

L'énergie cinétique est associée au mouvement.

Nous devons transférer de l'énergie à un objet pour qu'il se mette en mouvement. Par exemple, lorsque tu fais du vélo, les muscles de tes jambes font un travail pour avancer, et toi et le vélo gagnez de l'énergie cinétique à mesure que vous avancez plus vite.

Fig. 2 - Un cycliste fait travailler ses jambes pour avancer et gagner de l'énergie cinétique.

Il existe différents types d'énergie cinétique, comme l'énergie thermique, sonore et électrique.

L'énergie potentielle

L'énergie potentielle est associée à la disposition d'un système.

L'énergie chimique et l'énergie potentielle élastique sont d'autres formes d'énergie potentielle.

Loi de la conservation de l'élan

L'élan linéaire d'un objet est une quantité qui dépend de sa masse et de sa vitesse.

$$\vec p=m\vec v$$$

Dans l'équation ci-dessus, \( m \N) est la masse de l'objet en \N( \Nmathrm{kg} \N) et \N( \Nvec v \N) est sa vitesse en \N( \Nmathrm m/\Nmathrm s \N). L'unité de la quantité de mouvement, \( \mathrm{\vec p}\) est \( \mathrm{kg\N,m}/\mathrm s \N). Le momentum et la vitesse sont tous deux des vecteurs, leur direction doit donc être prise en compte. Le vecteur de la quantité de mouvement d'un objet en mouvement pointe dans la même direction que sa vitesse.

Comme pour l'énergie, il existe même une loi de conservation de la quantité de mouvement !

Considère un système composé de deux objets qui entrent en collision. Cette loi implique que l'élan total des deux objets avant leur collision est égal à l'élan total après la collision puisqu'il n'y a pas de forces externes agissant sur le système.

Conditions de conservation de la quantité de mouvement

La seule condition pour la conservation de l'élan d'un système est qu'aucune force extérieure n'agisse sur lui. Toutefois, cela ne signifie pas que toutes les forces sont interdites. L'élan est toujours conservé si des forces internes agissent.

Les forces internes ne peuvent pas modifier l'élan d'un système car elles s'annulent toujours l'une l'autre.

Formules de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement

Nous pouvons représenter la loi de la conservation de l'énergie par l'équation suivante :

$$E_{\mathrm i}=E_{\mathrm f},$$

où \( E_{\mathrm i} \) est l'énergie initiale du système et \( E_{\mathrm f} \) est l'énergie finale.

Rappelle-toi que l'énergie totale est la somme de l'énergie cinétique (KE) et de l'énergie potentielle (PE) du système. Voyons comment calculer chacune d'entre elles.

$$\begn{aligne}KE &= \frac12mv^2\\ PE_{text{gravitonal}}&=mgh$$

où \( m \N) est la masse de l'objet en \N( \Nmathrm{kg} \N) et \N( v \N) est sa vitesse en \N( \Nmathrm m/\Nmathrm s \N), \N( g \N) est l'accélération due à la gravité de la Terre, \N(9.8 \mathrm{m/s^2}\), et \( h \rm) est la hauteur de l'objet en mètres (\( \mathrm{m} \rm))).

De même, la loi de conservation de la quantité de mouvement peut être représentée par la formule :

$$\vec{p_{\mathrm i}}=\vec{p_{\mathrm f}},$$.

Comme nous l'avons vu plus haut, la quantité de mouvement est une quantité vectorielle, tu dois donc faire attention à la direction du mouvement de l'objet lorsque tu calcules sa quantité de mouvement.

Différence entre la conservation de l'énergie et la conservation de la quantité de mouvement

Les deux principes de conservation sont très similaires, mais ils présentent une différence importante. L'énergie est une quantité scalaire ; elle a une valeur numérique et n'a pas de direction. En revanche, la quantité de mouvement est une quantité vectorielle et a donc une direction. En général, nous utilisons le système de coordonnées avec les axes \N( x \N), \N( y \N) et \N( z \N). La quantité de mouvement d'un objet peut être calculée le long de chaque axe et elle sera conservée dans chaque direction, indépendamment.

Fig. 6 - Le vecteur vitesse (et donc le vecteur quantité de mouvement) peut être divisé en composantes dans trois directions perpendiculaires.

Conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement dans les collisions

Les lois de la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement sont utiles lorsqu'il s'agit de collisions. Alors que la quantité de mouvement est toujours conservée dans les collisions (tant qu'il n'y a pas de forces extérieures !), l'énergie peut être gaspillée dans certains types de collisions.

Collisions élastiques

Les collisions élastiques n'entraînent aucune perte d'énergie. Toute l'énergie est cinétique.

Les équations générales pour les vitesses finales des particules entrant en collision élastique peuvent être trouvées à partir des équations de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique. Considérons une collision élastique entre la particule \N( 1 \N) avec une masse \N( m_1 \N) et la particule \N( 2 \N) avec une masse \N( m_2 \N). Elles entrent en collision le long d'une ligne droite - elles ne changent pas de direction. La particule 1 a une vitesse initiale de 1 et une vitesse finale de 1. La particule \N( 2 \N) a une vitesse initiale de \N( u_2 \N) et une vitesse finale de \N( v_2 \N). Cela signifie que nous pouvons écrire l'équation de conservation de la quantité de mouvement comme suit

$$m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2.$$

La collision étant élastique, l'énergie cinétique avant et après la collision est la même.

$$m_1u_1^2+m_2u_2^2=m_1v_1^2+m_2v_2^2.$$

Collisions inélastiques

Toutes les collisions inélastiques entraînent une perte d'énergie cinétique. Cependant, c'est lors des collisions complètement inélastiques que la perte d'énergie cinétique est la plus importante, lorsque les objets se collent l'un à l'autre après la collision.

Considérons une collision complètement inélastique entre deux particules, avec la même notation que précédemment. Cependant, cette fois-ci, les particules restent collées l'une à l'autre après la collision, de sorte qu'elles ont la même vitesse finale \( V \). L'équation de la conservation de la quantité de mouvement dans ce cas devient

$$m_1u_1+m_2u_2=(m_1+m_2)V.$$

Et nous pouvons résoudre la vitesse finale des particules :

$$V=\frac{m_1u_1+m_2u_2}{m_1+m_2}.$$

Le pendule balistique

Un pendule balistique est un dispositif utilisé pour mesurer la vitesse d'un projectile en utilisant la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement. Le projectile est tiré dans un grand bloc de bois suspendu par deux cordes, ce qui fait osciller le bloc avec le mouvement d'un pendule. Des repères angulaires suivent la trajectoire de l'oscillation du bloc, ce qui permet de calculer la hauteur de l'oscillation.

Fig. 8 - Un pendule balistique doit être soigneusement installé pour mesurer la vitesse correcte d'une balle.

Supposons qu'une balle de masse \( m \N) atteigne le bloc à une vitesse \( u \N) (c'est ce que nous voulons trouver) et que le bloc de bois ait une masse \( M \N). La balle s'arrête complètement à l'intérieur du bloc, la collision est donc complètement inélastique. Nous pouvons utiliser l'équation dérivée ci-dessus pour la vitesse finale de deux objets après une collision complètement inélastique :

$$V=\frac{m_1u_1+m_2u_2}{m_1+m_2}.$$

Soit la vitesse de la balle et du bloc après la collision est \( v \) de sorte que cette équation donne

$$v=\frac{mu}{m+M}$$$.

Après l'impact, le bloc et la balle possèdent ensemble de l'énergie cinétique.

$$\begin{aligned}KE&=\frac12mv^2\\[8pt] KE&=\frac12(m+M){\left(\frac{mu}{m+M}\right)}^2\\[8pt]KE&=\frac12\frac{m^2u^2}{m+M}\end{aligned}$$

Lorsqu'ils commencent à s'élever, cette énergie cinétique est convertie en énergie potentielle gravitationnelle. Une fois que le bloc est à la fin de son mouvement de pendule, à son point le plus haut, \( h \N), toute l'énergie cinétique initiale aura été convertie en énergie potentielle gravitationnelle.

$$PE_{\text{gravitationnel}}=(m+M)gh,$$$

L'énergie potentielle peut être mise en équation avec l'énergie cinétique initiale du bloc et de la balle pour trouver la vitesse de la balle !

$$\begin{aligned}KE&=PE\\[8pt]\frac12\frac{m^2u^2}{m+M} &=(m+M)gh\\[8pt]u^2&=\frac{2{(m+M)}^2gh} {m^2}\\[8pt] u&=\frac{(m+M)}m\sqrt{2gh}\end{aligned}$$