Accélération Centripète et Force Centripète

Définition de l'accélération centripète et de la force centripète

Dans ce qui suit, nous définissons l'accélération centripète et la force centripète.

L'accélération est toujours le résultat d'une force, ce qui conduit à la définition suivante de la force centripète :

En gardant ces définitions à l'esprit, nous allons maintenant examiner les formules permettant de calculer l'accélération centripète et la force centripète d'un objet soumis à un mouvement circulaire.

Formules d'accélération centripète et de force centripète

Pour calculer l'accélération centripète, on utilise la formule de l'accélération centripète

$a_c=\frac{v^2}{r}$$a_c=\frac{v^2}{r}$

où$v$est la vitesse mesurée en$\raisebox{1ex}{$\mathrm{m}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{s}$}\right.$et$r$est le rayon de la trajectoire circulaire mesuré en$\mathrm{m}$.

Nous pouvons obtenir la formule de la force centripète en suivant la formule de l'accélération centripète. L'accélération et la force sont liées par la deuxième loi du mouvement de Newton, qui est la suivante

$F=ma$.

Sur la base de cette loi, nous savons que la force exercée sur un objet est le produit de la masse et de l'accélération. Pour la force centripète, nous savons que l'accélération qui lui est associée est également centripète. Par conséquent, nous devons insérer sa formule dans l'équation ci-dessus pour obtenir la formule de la force centripète. En introduisant la formule de l'accélération centripète dans cette expression, nous obtenons la formule de la force centripète :

$$\begin{gathered} F_c=m{a}_c \\ =\frac{m{v}^2}{r}. \end{gathered}$$

Ici,$m$est la masse de l'objet mesurée dans$\mathrm{kg}$,$v$est la vitesse mesurée dans $\raisebox{1ex}{$\mathrm{m}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{s}$}\right.$, et $r$ est le rayon mesuré dans$\text{m}$.

La relation entre la force centripète et l'accélération centripète

Nous venons de voir ci-dessus comment la force centripète est mathématiquement liée à l'accélération centripète. Connaissant cette dernière, il suffit de la multiplier par la masse de l'objet pour obtenir la première. Examinons maintenant plus en détail la relation conceptuelle entre l'accélération centripète et la force centripète.

L'accélération centripète et la force centripète ont-elles des directions opposées ?

L'accélération centripète et la force centripète n'ont pas de directions opposées. Rappelle-toi que l'accélération d'un objet est toujours dans la même direction que la force nette qui agit sur lui ! Le mouvement circulaire ne fait pas exception à cette règle. L'accélération centripète et la force centripète sont toujours dirigées vers l'intérieur, vers le centre du cercle. Tu peux facilement t'en souvenir en comprenant que le mot centripète signifie que l'on cherche le centre ou que l'on a tendance à se déplacer vers le centre.

Quelles sont les forces qui provoquent l'accélération centripète ?

Les forces centripètes provoquent une accélération centripète. La tension, la gravité et la friction sont des exemples typiques de forces centripètes responsables du mouvement circulaire. Par exemple, si nous attachons un objet à une ficelle et que nous le balançons horizontalement au-dessus de notre tête, l'objet suivra une trajectoire circulaire en raison de la tension. La tension de la ficelle maintient l'objet sur sa trajectoire circulaire et, par conséquent, fournit la force centripète.

Tension : exemple de force centripète

Tension : exemple de force centripète.

Un autre exemple est l'orbite de la lune autour de la terre. La lune est maintenue dans son orbite par la gravité, et la gravité fournit la force centripète appliquée à la lune.

Gravité : exemple de force centripète

Il en va de même pour le frottement. Si une voiture roule dans une courbe inclinée, le frottement agit comme une force externe qui fait que la voiture reste sur sa trajectoire.

D'après les exemples ci-dessus, nous pouvons comprendre qu'à chaque fois qu'un objet subit un mouvement circulaire, il subit une accélération centripète car la direction de sa vitesse en tout point de la trajectoire change constamment. Cette accélération est causée par une force centripète qui contraint le mouvement de l'objet à un cercle.

Dérivation de l'accélération centripète et de la force

Dans cette section, nous fournissons une dérivation géométrique de l'accélération centripète. La dérivation exacte nécessiterait des calculs pour obtenir l'équation de l'accélération centripète. Cependant, il est possible de contourner ce problème en utilisant une preuve visuelle informelle. Commençons par considérer une particule se déplaçant sur un cercle à vitesse constante et dessinons le vecteur position et le vecteur vitesse correspondant à différents moments.

Pour les objets soumis à un mouvement circulaire, le vecteur vitesse est toujours tangent au vecteur position.

Lorsqu'un objet est soumis à un mouvement circulaire, son vecteur position et son vecteur vitesse changent constamment. Le vecteur position change en raison du vecteur vitesse. Par conséquent, si la particule se déplace à une vitesse, $\mathrm{v}$, le long d'un cercle de rayon, $\mathrm{r}$, nous pouvons déterminer le temps qu'il faut à la particule pour faire un tour complet.

Pour un cercle, nous savons que la distance sera égale à $2\mathrm{\pi r}$, qui est la circonférence d'un cercle. Par conséquent, nous trouvons le temps autour de la circonférence de ce premier cercle via :

${\mathrm{t}}_1=\frac{2\mathrm{\pi r}}{\mathrm{v}}$.

Maintenant, nous savons également que la direction de la vitesse change en raison de l'accélération centripète.

Pour les objets soumis à un mouvement circulaire, le vecteur d'accélération pointe toujours vers le centre du cercle

À mesure que la particule se déplace le long du cercle vert de rayon$\mathrm{r}$, le vecteur vitesse change en raison du vecteur accélération. Maintenant, si nous réarrangeons ces vecteurs vitesse et accélération tout en les gardant perpendiculaires l'un à l'autre, nous obtenons ce qui suit :

En rappelant que l'accélération est le taux de changement de position, nous pouvons réarranger les vecteurs de la figure précédente pour former un cercle analogue au premier

Les changements du vecteur vitesse décrivent un deuxième cercle. Ce cercle aura un rayon de$\mathrm{v}$et nécessitera le même temps que la particule pour se déplacer le long de la trajectoire circulaire de rayon$r$de la première image. Cependant, pour ce deuxième cercle, nous savons que l'accélération centripète est responsable de la vitesse de la particule. Par conséquent, si le cercle a un rayon$\mathrm{v}$et une vitesse${\mathrm{a}}_{\mathrm{c}}$, nous pouvons déterminer le temps qu'il faut à la particule pour effectuer un tour complet :

Les deux cercles doivent effectuer un tour complet dans le même laps de temps parce qu'ils décrivent le même cas de mouvement circulaire. Par conséquent, si nous mettons les deux équations de temps égales l'une à l'autre, nous pouvons résoudre l'accélération centripète comme suit :

$t_1=t_2$

$\frac{\cancel{2\mathrm{\pi }}\mathrm{r}}{\mathrm{v}}=\frac{\cancel{2\mathrm{\pi }}\mathrm{v}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{c}}}\to \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{v}}=\frac{\mathrm{v}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{c}}}$.

En multipliant par deux, on obtient

${\mathrm{a}}_{\mathrm{c}}\mathrm{r}={\mathrm{v}}^2$

ce qui, en divisant les deux côtés par $r$, donne

${\mathrm{a}}_{\mathrm{c}}=\frac{{\mathrm{v}}^2}{\mathrm{r}}$.

C'est l'équation de l'accélération centripète que nous cherchions.

Exemples d'accélération centripète et de force centripète

Dans cette section, nous allons effectuer deux calculs impliquant des exemples d'accélération centripète et de force centripète. Avant de commencer un problème, n'oublie jamais de lire et d'identifier toutes les variables qui te sont fournies avant d'appliquer les formules nécessaires pour répondre à la question.