Cinématique

Définition de la cinématique

L'étude du mouvement est inévitable : le mouvement physique fait partie intégrante de la vie. Nous sommes constamment en train d'observer, d'expérimenter, de provoquer et d'arrêter le mouvement. Avant d'examiner les causes du mouvement, nous voulons comprendre le mouvement tel qu'il se produit : où un objet se dirige, à quelle vitesse il se déplace, et pendant combien de temps. Cet objectif simplifié avec lequel nous commençons est l'étude de la cinématique en physique.

Notre étude de la cinématique est un point de départ important pour comprendre le monde en mouvement et en interaction qui nous entoure. Les mathématiques étant le langage de la physique, nous aurons besoin d'un ensemble d'outils mathématiques pour décrire et analyser toutes sortes de phénomènes physiques dans notre univers. Nous allons maintenant nous plonger dans quelques concepts de base : les variables clés du mouvement cinématique et les équations cinématiques qui les sous-tendent.

Avant de présenter les principales équations cinématiques, passons brièvement en revue les informations préliminaires et les différents paramètres que tu dois connaître.

Scalaires et vecteurs

En cinématique, nous pouvons diviser les quantités physiques liées au mouvement en deux catégories : les scalaires et les vecteurs.

Qu'est-ce qu'un scalaire ?

En d'autres termes, un scalaire est simplement une quantité numérique avec une certaine valeur. Il peut s'agir d'un simple nombre positif ou d'un nombre avec une unité, mais dans les deux cas, cela n'inclut pas de direction. Voici quelques exemples courants de scalaires avec lesquels tu interagis régulièrement :

• La masse (mais pas le poids !) d'une balle, d'un cahier de texte, de toi-même ou d'un autre objet.
• Le volume de café, de thé ou d'eau contenu dans ta tasse préférée.
• Le temps qui s'est écoulé entre deux cours à l'école, ou le temps que tu as dormi cette nuit.

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Lorsque nous disons qu'un vecteur a une direction, nous voulons dire que la quantité physique désignée admet une direction bien définie. Cela signifie que le repère que nous utilisons est important, ainsi que le signe du vecteur qui change selon son sens. Examinons maintenant quelques exemples simples de quantités vectorielles de la vie quotidienne.

• La force que tu utilises pour pousser une porte.
• L'accélération vers le bas d'une pomme tombant d'une branche d'arbre en raison de la gravité.
• La vitesse à laquelle tu roules à vélo vers l'est en partant de chez toi.

Un vecteur peut être écrit comme une variable avec une flèche vers la droite au-dessus de la lettre, comme le vecteur force \(\vec{F}\).

Variables en cinématique

La résolution mathématique des problèmes de cinématique en physique implique la compréhension, le calcul et la mesure de plusieurs quantités physiques. Voyons maintenant la définition de chaque variable.

Vecteur position, déplacement et distance parcourue

Avant de savoir à quelle vitesse un objet se déplace, nous devons d'abord savoir où il se trouve. Nous utilisons la variable position pour repérer l'objet dans l'espace.

Pour un mouvement rectiligne simple, nous utilisons un axe unidimensionnel, tel que l'axe \(x\), \(y\) ou \(z\). Pour un mouvement le long de l'axe horizontal, nous indiquons une mesure de position à l'aide du symbole \(x\), la position initiale à l'aide de \(x_0\) ou \(x_i\) et la position finale à l'aide de \(x_f\)_. Nous mesurons la position en unités de longueur, l'unité du système international (S.I) étant le mètre, représenté par le symbole \(m\).

Pour un mouvement dans l'espace, le vecteur position a trois composantes suivant chacun des trois axes \(x\), \(y\) et \(z\). Les positions initiale et finale seront représentées par \( \overrightarrow{OM_i}\) et \( \overrightarrow{OM_f}\), respectivement.

Tout d'abord, n'oublions pas qu'en mécanique et en cinématique plus précisément, il est crucial de commencer son étude par définir un référentiel qui sera un repère orthonormé, avec une origine bien définie, pour en représenter les vecteurs nécessaires à l'étude cinématique envisagée.

Si nous voulons plutôt comparer l'écart entre la position finale d'un objet et sa position initiale dans l'espace, nous pouvons mesurer le déplacement après qu'il a subi un certain type de mouvement rectiligne.

Dans l'espace, le déplacement est défini par le vecteur \( \Delta \overrightarrow{OM} \) représenté dans le référentiel ci-dessous :

Figure 3. Le vecteur déplacement représente la variation de la position d'un point entre deux instants différents

Considérons une trajectoire quelconque du point M entre deux positions \(\overrightarrow{OM_0}\) et \(\overrightarrow{OM_1}\). Le vecteur déplacement \( \Delta \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{M_0M_1} = \overrightarrow{OM_1} - \overrightarrow{OM_0} \). En effet, d'après la relation de Chasles : \[\overrightarrow{OM_0} + \overrightarrow{M_0M_1} = \overrightarrow{OM_1} \] \[\overrightarrow{M_0M_1} = \overrightarrow{OM_1} - \overrightarrow{OM_0} \]

Parfois, nous voulons seulement connaître la distance totale parcourue par un objet, par exemple, le nombre total de kilomètres parcourus par une voiture pendant un voyage. C'est là que la variable distance s'avère utile.

En d'autres termes, nous additionnons la valeur absolue de la longueur de chaque segment le long d'un chemin pour trouver la distance totale parcourue. Le déplacement et la distance sont également mesurés en unités de longueur.

Fig.4- Le déplacement décrit de quelle distance et dans quelle direction s'est déplacé un objet par rapport à sa position de départ, tandis que la distance parcourue donne la longueur totale du chemin parcouru

La distinction la plus importante à retenir entre ces quantités est que la position et le déplacement sont des vecteurs, tandis que la distance est un scalaire.

Comme les calculs de déplacement tiennent compte de la direction, ces mesures peuvent être positives, négatives — selon le sens du vecteur déplacement – ou nulles. Cependant, la distance ne peut qu'être positive.

Temps

Le temps, en particulier le temps écoulé, est une variable importante et simple en apparence, de laquelle nous nous servons simultanément pour organiser nos activités quotidiennes et pour de nombreux problèmes de physique, en particulier pour ceux de la cinématique.

Nous mesurons un intervalle de temps \(\Delta t\) comme la différence entre l'instant final et l'instant initial, ou : \[\Delta t = t_f - t_i\]

Nous enregistrons le temps généralement en unités de secondes, désignées par le symbole \(s\) dans les problèmes de physique. Le temps semble très simple en apparence, mais au fur et à mesure que tu avanceras dans tes études de physique, tu découvriras que la définition de ce paramètre est un peu plus difficile que tu pensais ! Ne t'inquiète pas – pour l'instant, tout ce que tu dois savoir, c'est comment identifier et calculer le temps écoulé dans un problème en fonction d'une horloge ou d'un chronomètre standard.

Vecteur vitesse et vitesses scalaires

Nous parlons souvent de la "vitesse" de déplacement d'un objet, comme la vitesse de déplacement d'une voiture ou la vitesse de marche. En cinématique, le concept de vecteur vitesse de déplacement d'un objet fait référence à la façon dont sa position change dans le temps, y compris la direction qu'il prend.

En d'autres termes, le vecteur vitesse décrit le changement de position d'un objet pour chaque unité de temps qui s'écoule.

Parlons maintenant des vitesses scalaires.

La distinction entre "le vecteur vitesse" et "la vitesse scalaire" est importante. Nous rappelons qu'un vecteur comme \(\vec{V}\) est une quantité qui n'a pas uniquement une norme, mais elle a aussi une direction. Tandis qu'un scalaire n'est qu'un nombre ou une quantité.

Nous mesurons la vitesse en unités de longueur par rapport au temps, l'unité la plus courante étant le mètre par seconde, désigné par le symbole \(m/s \). Par exemple, cela signifie qu'un objet dont la vitesse est de \(10\hspace{3px} m/s \) se déplace de \(10\hspace{3px}m\) à chaque seconde qui s'écoule.

Vecteur accélération

Lorsque tu conduis une voiture, avant d'atteindre une vitesse de croisière constante, tu dois augmenter ta vitesse en partant de zéro. Les changements de vitesse se traduisent par une valeur d'accélération non nulle.

Cinématique : formules

Les équations cinématiques, également appelées équations du mouvement, sont un ensemble de cinq formules clés que nous pouvons utiliser pour trouver la position, la vitesse, l'accélération ou le temps écoulé pour le mouvement d'un objet. Passons en revue chacune des quatre équations cinématiques et la manière de les utiliser.

Tout d'abord, nous devons distinguer entre les différentes natures du mouvement qui se divisent entre trois catégories essentielles :

• Le mouvement uniforme
• Le mouvement uniformément varié
• Le mouvement aléatoire

Nous rentrerons dans les détails de ces natures ultérieurement. Cependant, pour le moment, la notion la plus importante que tu dois connaitre est qu'un mouvement uniforme conserve une vitesse constante, donc \(V=cte\). Alors que pour un mouvement uniformément varié, c'est l'accélération qui est conservée, \(a=cte\).

Prépare-toi à voir le développement mathématique derrière les équations les plus importantes de la cinématique, et n'oublie surtout pas d'en essayer de les établir à nouveau toi-même !

Mouvement rectiligne :

Par souci de simplicité, nous considérerons le cas simple d'un mouvement qui se produit le long de l'axe \(x\).

1. Mouvement rectiligne uniforme :

\(\vec{V} = \vec{cte}\) \(\Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta t} = cte = V\)

\(\Rightarrow \Delta x = V . \Delta t\)

\(\Rightarrow x_f - x_i = V . \Delta t\)

Ainsi, pour un point M ayant une position variable (\(x\)), en partant d'une position initiale bien définie (\(x_0\)), la formule ci-dessus se réécrit comme :

\(\Rightarrow x = V . \Delta t + x_0\)

où l'on a : \[\Delta t = t_f-t_i\]

En considérant que nous avions déclenché notre chronomètre à l'origine des dates \(t_i = t_0 = 0\), nous pouvons trouver la position du point M à un instant (\(t\)) quelconque du mouvement par la simple formule :

\[\boxed {x(t)=V.t+x_0} \]

C'est la première et la plus simple équation cinématique que tu dois mémoriser en cinématique. Elle est nommée : "Équation horaire du mouvement rectiligne uniforme".

2. Mouvement rectiligne uniformément varié :

D'une facon similaire :

\(\vec{a} = \vec{cte}\) \(\Rightarrow \frac{\Delta V}{\Delta t} = cte = a\)

\(\Rightarrow \Delta V = a . \Delta t\)

\(\Rightarrow V_f - V_i = a . \Delta t\)

En considérant que le temps initial est nul (\(t_0=0\)), notre formule devient :

\[\boxed {V(t)=a.t+V_0} \]

C'est la deuxième formule cinématique que tu dois mémoriser ; c'est simple, non ?

Maintenant que nous savons calculer la vitesse, l'accélération ou le temps écoulé par les formules ci-dessus, examinons ensemble le déplacement \(\Delta x\) et la position \(x\).

Nous nous sommes intéressés tout au long de cette étude à la vitesse moyenne.

Rappelons l'expression de cette dernière :

\[V_m= \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{t}\]

Pour calculer la vitesse moyenne, on peut dans le cas particulier du mouvement uniformément accéléré prendre la moyenne entre la vitesse de départ et la vitesse à un certain instant.

Si tu te rappelles bien, nous calculons la moyenne de certaines valeurs en les additionnant puis en divisant par le nombre de ces valeurs. Ce qui se traduit ici par : \[V_m = \frac{V+V_0}{2}\] \[\Rightarrow \frac{V+V_0}{2} = \frac{\Delta x}{t}\] \[\Rightarrow \boxed{ \Delta x = (\frac{V+V_0}{2}) . t}\]

Voici notre troisième équation cinématique. Nous reconnaissons qu'il existe d'autres méthodes pour la démontrer (en utilisant les intégrales par exemple), mais pour le moment, nous nous limiterons au développement des formules essentielles de la cinématique par un raisonnement simple et direct pour t'introduire à cette branche de la physique. Nous reviendrons certainement à un développement plus formel qui utilise le calcul infinitésimal mathématique, quand nous introduirons les types et les natures du mouvement !

À partir de l'équation précédente, nous obtenons :

\[\Delta x = \frac{V}{2}.t + \frac{V_0}{2}.t\]

\[\Rightarrow \frac{V}{2}.t = \Delta x - \frac{V_0}{2}\]

\[V= \frac{2\Delta x}{t} - V_0\]

Or, d'après la deuxième équation :

\[V=a.t+V_0\]

Remplaçons \(V\) par sa valeur :

\[\frac{2\Delta x}{t} - V_0 = a.t + V_0\]

\[2\Delta x = a.t^2 + 2V_0.t\]

\[\Delta x = \frac{1}{2} a.t^2 + V_0.t\]

\[\Rightarrow \boxed{x(t)=\frac{1}{2} a.t^2 + V_0.t + x_0}\]

C'est notre quatrième cinématique, la très importante "Équation horaire du mouvement rectiligne uniformément varié".

Enfin, revenons à la seconde équation pour en tirer l'expression du temps écoulé :

\[V=a.t+V_0\] \[\Rightarrow t=\frac{V-V_0}{a}\]

Remplaçons cette dernière expression du temps dans la quatrième équation : \[x=\frac{1}{2} a.(\frac{V-V_0}{a})^2 + V_0.(\frac{V-V_0}{a}) + x_0\]

\[\Rightarrow x-x_0=\Delta x = \frac{1}{2}.\frac{(V-V_0)^2}{a} + V_0.(\frac{V-V_0}{a})\]

Par un simple developpement, nous obtenons :

\[\Delta x = \frac{\frac{1}{2} . (V^2 +V_0^2 - 2V.V_0) + V_0.V - V_0^2}{a}\]

\[\Delta x = \frac{\frac{1}{2}V^2 + \frac{1}{2}V_0^2 - \bcancel{V.V_0} +\bcancel{V_0.V} - V_0^2}{a}\]

\[\Rightarrow \Delta x = \frac{\frac{1}{2}V^2 - \frac{1}{2}V_0^2}{a}\]

\[\Rightarrow \Delta x = \frac{V^2 -V_0^2}{2a}\]

\[\Rightarrow \boxed {V^2 - V_0^2 = 2a\Delta x}\]

C'est la relation indépendante du temps du mouvement rectiligne uniformément varié.

Le choix de l'équation cinématique à utiliser semble déroutant au début. La meilleure méthode pour déterminer la formule dont tu as besoin est de répertorier les informations qui t'ont été données dans un problème pour chaque variable. Parfois, la valeur d'une variable peut être implicite dans le contexte, comme la vitesse initiale nulle lors de la chute d'un objet. Si tu penses que l'on ne t'a pas donné assez de détails pour résoudre un problème, relis l'énoncé et fais aussi un schéma cinématique de la situation !

Il est important de noter que l'accélération due à la gravité sur différentes planètes ou sur des corps plus petits dans l'espace aura des valeurs numériques différentes de celle de la Terre \(g\). Par exemple, l'accélération de la pesanteur est considérablement plus faible sur la Lune et nettement plus importante sur Jupiter que ce à quoi nous sommes habitués sur Terre. Il ne s'agit donc pas d'une constante universelle !

Mouvement circulaire :

Figure 6. Mouvement circulaire d'un point matériel M par rapport à un centre O.

Le mouvement de rotation est l'analogue du mouvement rectiligne pour les objets en orbite ou en rotation.

Il y a une analogie entre le mouvement de rotation et le mouvement rectiligne. Notons que la variable essentielle dans le cas d'un mouvement circulaire est l'angle \(\theta\) mesurée en radians, notée \(rad\).

Les équations cinématiques deviennent :

Pour le mouvement circulaire uniforme :

1) \[\boxed{\theta = \omega .t + \theta_0}\]

Équation horaire du mouvement circulaire uniforme.

\(\omega\) étant la vitesse angulaire du mouvement du point matériel M, mesurée en \(rad/s\).

Comme pour le mouvement rectiligne uniforme, \(\omega = cte\).

Pour le mouvement circulaire uniformément varié :

2) \[\boxed{\omega(t) = \alpha .t + \omega_0}\]

\(\alpha\) étant l'accélération angulaire du point matériel M, mesurée en \(rad/s^2\).

3) \[\boxed{\Delta \theta = (\frac{\omega + \omega_0}{2}).t}\]

4) \[\boxed{\theta(t) = \frac{1}{2}.\alpha.t^2 + \omega_0.t + \theta_0}\]

Équation horaire du mouvement circulaire uniformément varié.

5) \[\boxed{\omega^2 - \omega_0^2 = 2.\alpha.\Delta\theta}\]

Équation indépendante du temps du mouvement circulaire uniformément varié.

Analogie entre mouvement rectiligne et mouvement circulaire

La cinématique et la mécanique classique dans son ensemble sont des vastes branches de la physique qui semblent déconcertantes au premier abord. Mais ne t'inquiète pas, nous allons entrer dans les détails de toutes les nouvelles variables et équations dans les prochaines explications !