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Cinématique

Savais-tu que le terme "cinématique" a été introduit par le physicien français André-Marie Ampère en 1834 ? Cependant, l'origine du mot a des racines grecques, car pour construire le terme, Ampère a utilisé le mot grec κίνημα kinema pour exprimer le mouvement, et le mot κινεῖν kinein qui fait allusion au fait de se déplacer. Plus tard, le terme a été traduit en anglais par "kinematics". Maintenant, tu es peut-être familier avec ce terme, mais tu ne réalises pas qu'il fait référence à un concept qui nous entoure quotidiennement. Nous l'utilisons dans le simple fait de marcher ou d'allumer un ventilateur. Nous pouvons également l'observer dans les phénomènes naturels tels que les tornades ou les trombes d'eau.

Cette explication présente donc la cinématique, qui est une branche essentielle de la mécanique, à travers des définitions et des exemples, alors prépare-toi à plonger dans cette nouvelle étude !

Cinématique — définition

L'étude du mouvement est inévitable : le mouvement physique fait partie intégrante de la vie. Nous sommes constamment en train d'observer, d'expérimenter, de provoquer et d'arrêter le mouvement. Avant d'examiner les causes du mouvement, nous voulons comprendre le mouvement tel qu'il se produit : où un objet se dirige, à quelle vitesse il se déplace, et pendant combien de temps. Cet objectif simplifié avec lequel nous commençons est l'étude de la cinématique en physique.

La cinématique est l'étude du mouvement des objets sans référer aux forces qui ont provoqué ce mouvement.

Notre étude de la cinématique est un point de départ important pour comprendre le monde en mouvement et en interaction qui nous entoure. Les mathématiques étant le langage de la physique, nous aurons besoin d'un ensemble d'outils mathématiques pour décrire et analyser toutes sortes de phénomènes physiques dans notre univers. Nous allons maintenant nous plonger dans quelques concepts de base de la cinématique : les variables clés du mouvement cinématique et les équations cinématiques qui les sous-tendent.

Les concepts de base de la cinématique

Avant de présenter les principales équations cinématiques, passons brièvement en revue les informations préliminaires et les différents paramètres que tu dois connaître.

Scalaires et vecteurs

En cinématique, nous pouvons diviser les quantités physiques liées au mouvement en deux catégories : les scalaires et les vecteurs.

Un scalaire est une grandeur physique qui n'a qu'une norme.

En d'autres termes, un scalaire est simplement une quantité numérique avec une certaine valeur. Il peut s'agir d'un simple nombre positif ou d'un nombre avec une unité, mais dans les deux cas, cela n'inclut pas de direction. Voici quelques exemples courants de scalaires avec lesquels tu interagis régulièrement :

  • La masse (mais pas le poids !) d'une balle, d'un cahier de texte, de toi-même ou d'un autre objet.
  • Le volume de café, de thé ou d'eau contenu dans ta tasse préférée.
  • Le temps qui s'est écoulé entre deux cours à l'école, ou le temps que tu as dormi cette nuit.

Une valeur scalaire semble donc assez simple, mais qu'en est-il d'un vecteur ?

Un vecteur est une quantité physique ayant à la fois un module, une direction et un sens.

Lorsque nous disons qu'un vecteur a une direction, nous voulons dire que la quantité physique désignée admet une direction bien définie. Cela signifie que le repère que nous utilisons est important, ainsi que le signe du vecteur qui change selon son sens. Examinons maintenant quelques exemples simples de quantités vectorielles de la vie quotidienne.

  • La force que tu utilises pour pousser une porte.
  • L'accélération vers le bas d'une pomme tombant d'une branche d'arbre en raison de la gravité.
  • La vitesse à laquelle tu roules à vélo vers l'est en partant de chez toi.

Prenons l'exemple de la chute libre d'une balle lâchée au repos d'une certaine hauteur \(h_0\).

Cinématique, Système de coordonnées pour une balle en chute libre en mouvement dû à la gravité StudySmarterFigure 1. Le mouvement de chute libre se produit dans la direction verticale, en commençant à une hauteur h nulle au-dessus du sol, MikeRun via Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0

Les caractéristiques du vecteur accélération \(\vec{g}\) dans ce cas sont :

  • Direction : verticale.
  • Sens : vers le bas.
  • Module ou norme : \(g=9,\!8\,m/s^2\)

Un vecteur peut être écrit comme une variable avec une flèche vers la droite au-dessus de la lettre, comme le vecteur force \(\vec{F}\).

Variables en cinématique

La résolution mathématique des problèmes de cinématique en physique implique la compréhension, le calcul et la mesure de plusieurs quantités physiques. Voyons maintenant la définition de chaque variable.

Position, déplacement et distance parcourue

Avant de savoir à quelle vitesse un objet se déplace, nous devons d'abord savoir où il se trouve. Nous utilisons la variable position pour repérer l'objet dans l'espace.

La position d'un objet est son emplacement physique dans l'espace par rapport à une origine ou à un autre point de référence dans un système de coordonnées défini.

Pour un mouvement rectiligne simple, nous utilisons un axe unidimensionnel, tel que l'axe \(x\), \(y\) ou \(z\). Pour un mouvement le long de l'axe horizontal, nous indiquons une mesure de position à l'aide du symbole \(x\), la position initiale à l'aide de \(x_0\) ou \(x_i\) et la position finale à l'aide de \(x_f\). Nous mesurons la position en unités de longueur, l'unité du système international (S.I) étant le mètre, représenté par le symbole \(m\).

Pour un mouvement dans l'espace, le vecteur position a trois composantes suivant chacun des trois axes \(x\), \(y\) et \(z\). Les positions initiale et finale seront représentées par \( \overrightarrow{OM_i}\) et \( \overrightarrow{OM_f}\), respectivement.

Tout d'abord, n'oublions pas qu'en mécanique et en cinématique plus précisément, il est crucial de commencer son étude par définir un référentiel qui sera un repère orthonormé, avec une origine bien définie, pour en représenter les vecteurs nécessaires à l'étude cinématique envisagée.

Cinématique, Vecteur Position StudySmarter

Figure 2. La position d'un point M dans l'espace est repérée par le vecteur position \( \overrightarrow{OM} \)

Si nous voulons plutôt comparer l'écart entre la position finale d'un objet et sa position initiale dans l'espace, nous pouvons mesurer le déplacement après qu'il a subi un certain type de mouvement rectiligne.

Le déplacement est une mesure du changement de position d'un objet par rapport à un point de référence, calculée par la formule suivante : \[\Delta x = x_f - x_i\]

Nous mesurons le déplacement \(\Delta x\), avec les mêmes unités que la position.

Dans l'espace, le déplacement est défini par le vecteur \( \Delta \overrightarrow{OM} \) représenté dans le référentiel ci-dessous :

Cinématique, Vecteur Déplacement StudySmarterFigure 3. Le vecteur déplacement représente la variation de la position d'un point entre deux instants différents

Considérons une trajectoire quelconque du point M entre deux positions \(\overrightarrow{OM_0}\) et \(\overrightarrow{OM_1}\). Le vecteur déplacement \( \Delta \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{M_0M_1} = \overrightarrow{OM_1} - \overrightarrow{OM_0} \). En effet, d'après la relation de Chasles : \[\overrightarrow{OM_0} + \overrightarrow{M_0M_1} = \overrightarrow{OM_1} \] \[\overrightarrow{M_0M_1} = \overrightarrow{OM_1} - \overrightarrow{OM_0} \]

Parfois, nous voulons seulement connaître la distance totale parcourue par un objet, par exemple, le nombre total de kilomètres parcourus par une voiture pendant un voyage. C'est là que la variable distance s'avère utile.

La distance parcourue est une mesure de la longueur totale qu'un objet a parcouru sans référence à la direction du mouvement.

En d'autres termes, nous additionnons la valeur absolue de la longueur de chaque segment le long d'un chemin pour trouver la distance totale parcourue. Le déplacement et la distance sont également mesurés en unités de longueur.

Cinématique, Mesure du déplacement à partir des positions initiale et finale et mesure de la distance le long du chemin emprunté StudySmarterFigure 4. Le déplacement décrit de quelle distance et dans quelle direction s'est déplacé un objet par rapport à sa position de départ, tandis que la distance parcourue donne la longueur totale du chemin parcouru , Stannered via Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0

La distinction la plus importante à retenir entre ces quantités est que la position et le déplacement sont des vecteurs, tandis que la distance est un scalaire.

Considérons un axe horizontal couvrant une allée de \(10\hspace{3px} m\), avec l'origine définie au milieu. Tu marches dans le sens des \(x\) positifs en partant de la voiture qui se trouve à l'origine et tu t'arrêtes à ta boîte aux lettres au bout de l'allée, où tu fais ensuite demi-tour pour marcher jusqu'à ta porte d'entrée. Détermine tes positions initiale et finale, ton déplacement et la distance totale parcourue.

Voici un schéma cinématique représentant la situation :

Cinématique, Exemple sur le déplacement StudySmarterFigure 5. Déplacement de la voiture au point O, vers la boîte aux lettres au point B, puis de celle-ci vers la porte d'entrée au point A.

Dans ce cas, ta position initiale est la même que celle de la voiture \(x_0=0\hspace{3px}m\). Le trajet vers la boîte aux lettres depuis la voiture couvre \(\Delta x_1 = x_{f(1)} - x_{i(1)}= +5 - 0 = 5\hspace{3px} m\), et le trajet vers la porte couvre toute la longueur de l'allée de \(\Delta x_2 = x_{f(2)} - x_{i(2)} = -5 - (+5) = -10\hspace{3px} m\), soit \(10\hspace{3px}m\) dans la direction opposée. Ton déplacement total est la somme de ton déplacement de la voiture vers la boîte aux lettres, dans la direction positive, avec ton second déplacement depuis la boîte aux lettres vers la porte, soit : \[\Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2\] \[\Rightarrow \Delta x = 5-10=-5\hspace{3px}m\]

Quant à la distance totale que tu as parcourue, cette dernière ne tient pas compte de la direction du mouvement, elle est toujours positive, et elle représente le nombre total de mètres que tu as parcourus. Alors, tu as marché \(5\hspace{3px}m\) dans un premier temps, puis \(10\hspace{3px}m\) supplémentaires dans un second temps.

La distance totale que tu as parcourue est :

\[d=5+10=15\hspace{3px}m\]

Comme les calculs de déplacement tiennent compte de la direction, ces mesures peuvent être positives, négatives — selon le sens du vecteur déplacement – ou nulles. Cependant, la distance ne peut qu'être positive.

Temps

Le temps, en particulier le temps écoulé, est une variable importante et simple en apparence, de laquelle nous nous servons simultanément pour organiser nos activités quotidiennes et pour de nombreux problèmes de physique, en particulier pour ceux de la cinématique.

Le temps écoulé est une mesure de la durée d'un événement, ou du temps nécessaire pour que des changements observables se produisent.

Nous mesurons un intervalle de temps \(\Delta t\) comme la différence entre l'instant final et l'instant initial, ou : \[\Delta t = t_f - t_i\]

Nous enregistrons le temps généralement en unités de secondes, désignées par le symbole \(s\) dans les problèmes de physique. Le temps semble très simple en apparence, mais au fur et à mesure que tu avanceras dans tes études de physique, tu découvriras que la définition de ce paramètre est un peu plus difficile que tu pensais ! Ne t'inquiète pas – pour l'instant, tout ce que tu dois savoir, c'est comment identifier et calculer le temps écoulé dans un problème en fonction d'une horloge ou d'un chronomètre standard.

Vecteur vitesse et vitesses scalaire

Nous parlons souvent de la "vitesse" de déplacement d'un objet, comme la vitesse de déplacement d'une voiture ou la vitesse de marche. En cinématique, le concept de vecteur vitesse de déplacement d'un objet fait référence à la façon dont sa position change dans le temps, y compris la direction qu'il prend.

Le vecteur vitesse est le taux de variation du vecteur position par rapport au temps, ou :

\[\vec{V} = \frac{d \overrightarrow{OM}}{dt} \]

En d'autres termes, le vecteur vitesse décrit le changement de position d'un objet pour chaque unité de temps qui s'écoule.

Parlons maintenant des vitesses scalaires.

La vitesse moyenne d'un objet est définie par le rapport entre la distance totale parcourue et la durée de parcours : \[V = \frac{d}{\Delta t} \]

La vitesse instantanée est la norme du vecteur vitesse qui donne une valeur de la vitesse à un instant précis. \[V=\frac{dOM}{dt}\]

La distinction entre "le vecteur vitesse" et "la vitesse scalaire" est importante. Nous rappelons qu'un vecteur comme \(\vec{V}\) est une quantité qui n'a pas uniquement une norme, mais elle a aussi une direction. Tandis qu'un scalaire n'est qu'un nombre ou une quantité.

Nous mesurons la vitesse en unités de longueur par rapport au temps, l'unité la plus courante étant le mètre par seconde, désigné par le symbole \(m/s \). Par exemple, cela signifie qu'un objet dont la vitesse est de \(10\hspace{3px} m/s \) se déplace de \(10\hspace{3px}m\) à chaque seconde qui s'écoule.

Accélération

Lorsque tu conduis une voiture, avant d'atteindre une vitesse de croisière constante, tu dois augmenter ta vitesse en partant de zéro. Les changements de vitesse se traduisent par une valeur d'accélération non nulle.

L'accélération est le taux de variation de la vitesse dans le temps, ou : \[\vec{a} = \frac {d \vec{V}}{d t} \]

En d'autres termes, l'accélération décrit le taux avec lequel le vecteur vitesse, y compris sa direction, change avec le temps. Par exemple, une accélération constante et positive indique une vitesse qui augmente régulièrement pour chaque unité de temps qui passe. Nous utilisons des unités de longueur par carré de temps pour l'accélération, l'unité la plus courante étant le mètre par seconde au carré, désigné par le symbole \(m/s^2\). Comme pour le déplacement et la vitesse, les mesures d'accélération peuvent être positives, nulles ou négatives puisque l'accélération est une quantité vectorielle.

Pourquoi le \(m/s^2\) pour l'accélération ?

Nous savons que l'unité des longueurs et du temps sont, respectivement, le mètre \(m\) et la seconde \(s\).' Ceci implique que la vitesse, qui est une distance par rapport au temps, doit avoir pour unité celle de la distance (\(m\)) par rapport à celle du temps (\(s\)), donc le (\(m/s\)).

D'une manière similaire, l'accélération, qui est la variation de la vitesse par rapport au temps, doit avoir pour unité celle de la vitesse (\(m/s\)) par rapport à celle du temps (\(s\)), donc le (\(\frac{\frac{m}{s}}{s} = \frac{m}{s^2}\))

Les équations de la cinématique en physique

Les équations cinématiques, également appelées équations du mouvement, sont un ensemble de cinq formules clés que nous pouvons utiliser pour trouver la position, la vitesse, l'accélération ou le temps écoulé pour le mouvement d'un objet. Passons en revue chacune des quatre équations cinématiques et la manière de les utiliser.

Tout d'abord, nous devons distinguer entre les différentes natures du mouvement qui se divisent entre trois catégories essentielles :

  • Le mouvement uniforme
  • Le mouvement uniformément varié
  • Le mouvement aléatoire

Nous rentrerons dans les détails de ces natures ultérieurement. Cependant, pour le moment, la notion la plus importante que tu dois connaitre est qu'un mouvement uniforme conserve une vitesse constante, donc \(V=cte\). Alors que pour un mouvement uniformément varié, c'est l'accélération qui est conservée, \(a=cte\).

Prépare-toi à voir le développement mathématique derrière les équations les plus importantes de la cinématique, et n'oublie surtout pas d'en essayer de les établir à nouveau toi-même !

Mouvement rectiligne :

Par souci de simplicité, nous considérerons le cas simple d'un mouvement qui se produit le long de l'axe \(x\).

1. Mouvement rectiligne uniforme :

\(\vec{V} = \vec{cte}\) \(\Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta t} = cte = V\)

\(\Rightarrow \Delta x = V . \Delta t\)

\(\Rightarrow x_f - x_i = V . \Delta t\)

Ainsi, pour un point M ayant une position variable (\(x\)), en partant d'une position initiale bien définie (\(x_0\)), la formule ci-dessus se réécrit comme :

\(\Rightarrow x = V . \Delta t + x_0\)

où l'on a : \[\Delta t = t_f-t_i\]

En considérant que nous avions déclenché notre chronomètre à l'origine des dates \(t_i = t_0 = 0\), nous pouvons trouver la position du point M à un instant (\(t\)) quelconque du mouvement par la simple formule :

\[\boxed {x(t)=V.t+x_0} \]

C'est la première et la plus simple équation cinématique que tu dois mémoriser en cinématique. Elle est nommée : "Équation horaire du mouvement rectiligne uniforme".

2. Mouvement rectiligne uniformément varié :

D'une facon similaire :

\(\vec{a} = \vec{cte}\) \(\Rightarrow \frac{\Delta V}{\Delta t} = cte = a\)

\(\Rightarrow \Delta V = a . \Delta t\)

\(\Rightarrow V_f - V_i = a . \Delta t\)

En considérant que le temps initial est nul(\(t_0=0\)), notre formule devient :

\[\boxed {V(t)=a.t+V_0} \]

C'est la deuxième formule cinématique que tu dois mémoriser ; c'est simple, non ?

Maintenant que nous savons calculer la vitesse, l'accélération ou le temps écoulé par les formules ci-dessus, examinons ensemble le déplacement \(\Delta x\) et la position \(x\).

Nous nous sommes intéressés tout au long de cette étude à la vitesse moyenne.

Rappelons l'expression de cette dernière :

\[V_m= \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{t}\]

Pour calculer la vitesse moyenne, on peut dans le cas particulier du mouvement uniformément accéléré prendre la moyenne entre la vitesse de départ et la vitesse à un certain instant.

Si tu te rappelles bien, nous calculons la moyenne de certaines valeurs en les additionnant puis en divisant par le nombre de ces valeurs. Ce qui se traduit ici par : \[V_m = \frac{V+V_0}{2}\] \[\Rightarrow \frac{V+V_0}{2} = \frac{\Delta x}{t}\] \[\Rightarrow \boxed{ \Delta x = (\frac{V+V_0}{2}) . t}\]

Voici notre troisième équation cinématique. Nous reconnaissons qu'il existe d'autres méthodes pour la démontrer (en utilisant les intégrales par exemple), mais pour le moment, nous nous limiterons au développement des formules essentielles de la cinématique par un raisonnement simple et direct pour t'introduire à cette branche de la physique. Nous reviendrons certainement à un développement plus formel qui utilise le calcul infinitésimal mathématique, quand nous introduirons les types et les natures du mouvement !

À partir de l'équation précédente, nous obtenons :

\[\Delta x = \frac{V}{2}.t + \frac{V_0}{2}.t\]

\[\Rightarrow \frac{V}{2}.t = \Delta x - \frac{V_0}{2}\]

\[V= \frac{2\Delta x}{t} - V_0\]

Or, d'après la deuxième équation :

\[V=a.t+V_0\]

Remplaçons \(V\) par sa valeur :

\[\frac{2\Delta x}{t} - V_0 = a.t + V_0\]

\[2\Delta x = a.t^2 + 2V_0.t\]

\[\Delta x = \frac{1}{2} a.t^2 + V_0.t\]

\[\Rightarrow \boxed{x(t)=\frac{1}{2} a.t^2 + V_0.t + x_0}\]

C'est notre quatrième cinématique, la très importante "Équation horaire du mouvement rectiligne uniformément varié".

Enfin, revenons à la seconde équation pour en tirer l'expression du temps écoulé :

\[V=a.t+V_0\] \[\Rightarrow t=\frac{V-V_0}{a}\]

Remplaçons cette dernière expression du temps dans la quatrième équation : \[x=\frac{1}{2} a.(\frac{V-V_0}{a})^2 + V_0.(\frac{V-V_0}{a}) + x_0\]

\[\Rightarrow x-x_0=\Delta x = \frac{1}{2}.\frac{(V-V_0)^2}{a} + V_0.(\frac{V-V_0}{a})\]

Par un simple developpement, nous obtenons :

\[\Delta x = \frac{\frac{1}{2} . (V^2 +V_0^2 - 2V.V_0) + V_0.V - V_0^2}{a}\]

\[\Delta x = \frac{\frac{1}{2}V^2 + \frac{1}{2}V_0^2 - \bcancel{V.V_0} +\bcancel{V_0.V} - V_0^2}{a}\]

\[\Rightarrow \Delta x = \frac{\frac{1}{2}V^2 - \frac{1}{2}V_0^2}{a}\]

\[\Rightarrow \Delta x = \frac{V^2 -V_0^2}{2a}\]

\[\Rightarrow \boxed {V^2 - V_0^2 = 2a\Delta x}\]

C'est la relation indépendante du temps du mouvement rectiligne uniformément varié.

Le choix de l'équation cinématique à utiliser semble déroutant au début. La meilleure méthode pour déterminer la formule dont tu as besoin est de répertorier les informations qui t'ont été données dans un problème pour chaque variable. Parfois, la valeur d'une variable peut être implicite dans le contexte, comme la vitesse initiale nulle lors de la chute d'un objet. Si tu penses que l'on ne t'a pas donné assez de détails pour résoudre un problème, relis l'énoncé et fais aussi un schéma cinématique de la situation !

Ta calculatrice tombe de ton bureau d'une hauteur de \(0.7m\) et atterrit sur le sol en dessous. Tu envisages de calculer la vitesse d'atterrissage. Choisis l'une des quatre équations cinématiques et résous ce problème.

Commençons notre étude cinématique par l'organisation des informations qui nous ont été données :

  • Le déplacement est le changement de position entre le bureau et le sol, \(0.7m\).
  • La calculatrice est au repos au moment où elle commence à tomber, la vitesse initiale est donc \(v_0=0\hspace{2px}\).
  • La calculatrice tombe uniquement sous l'influence de la gravité, ainsi \(a=g=9.8\hspace{2px}m/s^2\).
  • Pour simplifier, nous pouvons définir la direction du mouvement vers le bas comme étant l'axe \(y\) positif.
  • Nous ne connaissons pas la durée de la chute, nous ne pouvons donc pas utiliser une équation qui dépend du temps.

Étant donné les variables cinématiques dont nous disposons et celles dont nous ne disposons pas, la meilleure équation cinématique à utiliser est la relation indépendante du temps, ou : \[V^2 - V_0^2 = 2a\Delta y\] \[\Rightarrow V^2 = 2a\Delta y + V_0^2\]

Pour rendre nos calculs encore plus simples, nous devrions d'abord prendre la racine carrée des deux côtés pour isoler la variable de vitesse sur la gauche :

\[V=\sqrt{2a\Delta y + V_0^2}\] Enfin, faisons l'application numérique en introduisant les valeurs connues afin de résoudre le problème :

\[V=\sqrt{2\times9.8 \times0.7 + 0^2}\] \[V=3.7 m/s\]

La vitesse d'atterrissage de la calculatrice est de \(3.7 m/s\) .

Il est important de noter que l'accélération due à la gravité sur différentes planètes ou sur des corps plus petits dans l'espace aura des valeurs numériques différentes de celle de la Terre \(g\). Par exemple, l'accélération de la pesanteur est considérablement plus faible sur la Lune et nettement plus importante sur Jupiter que ce à quoi nous sommes habitués sur Terre. Il ne s'agit donc pas d'une constante universelle !

Mouvement circulaire :

Cinématique, Mouvement Circulaire StudySmarterFigure 6. Mouvement circulaire d'un point matériel M par rapport à un centre O.

Le mouvement de rotation est l'analogue du mouvement rectiligne pour les objets en orbite ou en rotation.

Le mouvement de rotation est le mouvement circulaire ou rotatif d'un corps autour d'un point fixe ou d'un axe de rotation rigide.

Des exemples de mouvement de rotation existent tout autour de nous : prends les orbites planétaires tournant autour du Soleil, le mouvement interne des rouages d'une montre et la rotation d'une roue de vélo. Les équations du mouvement pour la cinématique de rotation sont analogues à celles du mouvement rectiligne.

Il y a une analogie entre le mouvement de rotation et le mouvement rectiligne. Notons que la variable essentielle dans le cas d'un mouvement circulaire est l'angle \(\theta\) mesurée en radians, notée \(rad\).

Les équations cinématiques deviennent :

Pour le mouvement circulaire uniforme :

1) \[\boxed{\theta = \omega .t + \theta_0}\]

Équation horaire du mouvement circulaire uniforme.

\(\omega\) étant la vitesse angulaire du mouvement du point matériel M, mesurée en \(rad/s\).

Comme pour le mouvement rectiligne uniforme, \(\omega = cte\).

Pour le mouvement circulaire uniformément varié :

2) \[\boxed{\omega(t) = \alpha .t + \omega_0}\]

\(\alpha\) étant l'accélération angulaire du point matériel M, mesurée en \(rad/s^2\).

3) \[\boxed{\Delta \theta = (\frac{\omega + \omega_0}{2}).t}\]

4) \[\boxed{\theta(t) = \frac{1}{2}.\alpha.t^2 + \omega_0.t + \theta_0}\]

Équation horaire du mouvement circulaire uniformément varié.

5) \[\boxed{\omega^2 - \omega_0^2 = 2.\alpha.\Delta\theta}\]

Équation indépendante du temps du mouvement circulaire uniformément varié.

Analogie entre mouvement rectiligne et mouvement circulaire

Variable
Position
\(x\)
\(\theta\)
Déplacement
\(\Delta x\)
\(\Delta \theta\)
Vitesse
\(V\)
\(\omega\)
Accélération
\(a\)
\(\alpha\)

La cinématique et la mécanique classique dans son ensemble sont des vastes branches de la physique qui semblent déconcertantes au premier abord. Mais ne t'inquiète pas, nous allons entrer dans les détails de toutes les nouvelles variables et équations dans les prochaines explications !

Cinématique - Points-clés

  • La cinématique est l'étude du mouvement des objets sans références aux forces causales impliquées.
  • Le mouvement linéaire est le mouvement d'un objet dans une dimension, ou dans une direction à travers l'espace de coordonnées.
  • Le déplacement est le changement mesuré entre une position finale et une position initiale.
  • Le vecteur vitesse est le changement de position d'un objet par unité de temps.
  • L'accélération est le taux de changement de la vitesse par unité de temps.
  • Le mouvement de rotation est l'étude du mouvement de rotation d'un corps ou d'un système et est analogue au mouvement linéaire.

Questions fréquemment posées en Cinématique

Il faudra tout d'abord, se familiariser avec les variables cinématiques, en connaissant la signification physique derrière chacune d'entre elles. Puis, il est essentiel d'étudier des situations courantes ou de résoudre des problèmes cinématiques en commençant par expliciter les données de l'énoncé, puis en déterminant le système étudié, et en choisissant un référentiel pour enfin dessiner un schéma illustrant la situation. 

La cinématique a pour objet d'étudier le mouvement en lui-même, sans s'intéresser à la cause derrière celui-ci.

La cinématique d'un point, ou la cinématique du point matériel, est l'étude du mouvement d'un point, qui est supposé sans dimension. Souvent, ce point est pris comme le centre de gravité du système étudié. L'utilité du point est que l'on néglige l'effet de la géométrie du système sur les équations du mouvement que l'on élabore, ce qui est notamment important à la cinématique qui vise à décrire le mouvement sans rentrer dans les détails de ce qui l'a causé.

La cinématique est la description du mouvement tel qu'il se produit. Tandis que la dynamique est l'étude des causes derrière ce mouvement. Tout simplement, la dynamique est donc une façon de prédire le mouvement alors que la cinématique est une façon de le décrire.

Questionnaire final de Cinématique

Question

Laquelle des variables suivantes du mouvement de rotation correspond à la définition "est la variation de l'angle par rapport au temps" ?

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Réponse

La vitesse angulaire

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Question

Qu'est-ce que la cinématique ?


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Réponse

L'étude du mouvement des objets sans références aux forces concernées.

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Question

Parmi les variables suivantes, quelles sont les quantités scalaires utilisées en cinématique ?


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Réponse

La distance

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Question

Lesquelles des variables cinématiques suivantes correspondent à un mouvement linéaire ?

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Réponse

\(\theta\)

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Question

Une voiture roulant sur une route sinueuse aura...

Montrer la réponse

Réponse

Un vecteur vitesse constant

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Question

Calculez la vitesse moyenne d'un objet dont la vitesse initiale est de \(4 m/s\) et sa vitesse finale est de \(10 m/s\) si son accélération est constante.

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Réponse

\(V_{moy} = 7 m/s\)

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Question

Un objet en chute libre accélère en raison de...

Montrer la réponse

Réponse

La gravité

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Question

L'accélération est négative lorsque...

Montrer la réponse

Réponse

\(V_f < V_i\)

Montrer la question

Question

En quoi le déplacement et la distance sont-ils différents ?

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Réponse

Le déplacement est un vecteur, tandis que la distance est un scalaire.

Montrer la question

Question

Quelles variables sont utilisées pour calculer la vitesse moyenne ?

Montrer la réponse

Réponse

Déplacement

Montrer la question

Question

Quelle est l'unité du SI pour le déplacement ?

Montrer la réponse

Réponse

Mètre

Montrer la question

Question

Quelle est l'unité du SI pour le temps ?

Montrer la réponse

Réponse

Seconde

Montrer la question

Question

Pour résoudre un problème de cinématique, nous commençons par…

Montrer la réponse

Réponse

Tirer les données du problème et dessiner une figure s'il est nécessaire

Montrer la question

Question

Le premier à proposer le mot "Cinématique" était...

Montrer la réponse

Réponse

Ampère

Montrer la question

Question

Les forces sont des objets d'étude de la cinématique

Montrer la réponse

Réponse

Faux

Montrer la question

Question

La cinématique du point matériel assimile le ..... étudié à un point matériel.

Montrer la réponse

Réponse

Système 

Montrer la question

Question

Calculez la vitesse moyenne d'un objet dont la vitesse initiale est \(4 m/s\) et sa vitesse finale est \(10 m/s\) si son accélération est constante.

Montrer la réponse

Réponse

\(V_{moy} = \frac{4 + 10}{2}=7 m/s\)

Montrer la question

Question

Que représente la pente dans un graphique position-temps ? 

Montrer la réponse

Réponse

La vitesse

Montrer la question

Question

Vrai ou faux : la valeur du déplacement net dépend de la trajectoire empruntée lors du déplacement.

Montrer la réponse

Réponse

Faux

Montrer la question

Question

Quelle est l'unité de base du SI pour le temps ?

Montrer la réponse

Réponse

Secondes

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Question

Si tu voyages à 50 km/h pendant 20 km, puis à 65 km/h pendant 20 autres km, la vitesse moyenne est de :

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Réponse

  • Pour les premiers 20 km :

Tu parcours cette distance à une vitesse de 50 km/h

\[V_1=\frac{d_1}{\Delta t_1} \rightarrow \Delta t_1 =\frac{d_1}{V_1}=\frac{20}{50}=0,4 h\] 


  • Pour les derniers 20 km :

Tu parcours cette distance à une vitesse de 65 km/h

\[V_2=\frac{d_2}{\Delta t_2} \rightarrow \Delta t_2 =\frac{d_2}{V_2} = \frac{20}{65} =0,308 h\]


Alors le temps total du parcours est :\[\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = 0,4 + 0,308 = 0,708 h\]

Et la distance totale parcourue est de : \[d=d_1 + d_2 = 20 +20=40 km\]

Donc ta vitesse moyenne le long du parcours total est de :\[V_{moy} = \frac{d}{\Delta t}= \frac{40}{0,708}=56,5 km/h\]

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Question

La distance entre deux points est ___ la distance parcourue entre ces deux points.

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Réponse

Plus petite ou égale

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Question

Quand le déplacement est-il négatif ?

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Réponse

Lorsque la position initiale est plus éloignée de l'origine que la position finale, dans le sens positif du déplacement.

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Question

Laquelle des propositions suivantes est la définition correcte de la distance ?

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Réponse

La mesure de la longueur entre deux points.

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Question

Étant donné la vitesse moyenne \(V_{moy}\) sur une certaine distance \(d\), déterminez le temps écoulé.

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Réponse

\[V_{moy} = \frac{d}{\Delta t} \rightarrow \Delta t = \frac{d}{V_{moy}}\]

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Question

Un graphique position-temps est utile pour...

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Réponse

Trouver la vitesse moyenne entre deux points.

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Question

Quelles hypothèses faisons-nous lorsque nous utilisons les équations cinématiques ?

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Réponse

La résistance de l'air est négligeable.

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Question

La vitesse finale d'une balle lâchée sur la Terre ?

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Réponse

\[V_y = a_y.t + V_{0_y}\]

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Question

De quelle loi du mouvement de Newton les équations cinématiques sont-elles dérivées ?

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Réponse

La deuxième loi de Newton.

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Question

La force centripète exercée sur une balle de 1,5 kg se déplaçant en mouvement circulaire est égale à 122 newtons. Sachant que la balle se déplace à 3 mètres du centre de rotation, déterminez sa vitesse.

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Réponse

\[V=15,62m/s\]

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Question

Quelle est la principale équation permettant de calculer la force centripète ?

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Réponse

\[F_n=m\cdot a_n = \frac{m\cdot V^2}{r}\]

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Question

Comment pouvons-nous démontrer une formule alternative pour la force centripète ?

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Réponse

Nous savons que : \[F_n = m\cdot \frac{V^2}{r}\] Or, \(V=r\cdot \omega\). 

En remplaçant dans la première équation, nous obtenons : \[F_n=m\omega^2 \cdot r\]

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Question

Quelle est la définition d'un radian ?

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Réponse

C'est l'angle dont le sommet est le centre d'un cercle lorsqu'un arc de longueur égale à son rayon est créé sur sa circonférence.

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Question

Quel est le nom de la force qui induit un mouvement circulaire ?

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Réponse

La force centripète.

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Question

Quelle est la direction du vecteur vitesse dans un mouvement circulaire par rapport à la trajectoire circulaire ?

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Réponse

Le vecteur vitesse est suivant la tangente à la trajectoire circulaire en tout point de cette dernière.

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Question

Qu'est-ce que la force centrifuge ?

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Réponse

C'est une pseudo-force ressentie par un objet en mouvement circulaire.

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Question

Quelle unité utilisons-nous pour la période de temps dans le mouvement circulaire ?

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Réponse

La seconde

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Question

Quelle unité utilise-t-on pour la fréquence dans un mouvement circulaire ?

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Réponse

Le Hertz

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Question

À quoi est égale la force de friction d'une voiture qui se déplace sur une trajectoire courbée.

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Réponse

À la force centripète

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Question

Quelles unités utilise-t-on pour la vitesse angulaire ?

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Réponse

rad/s

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Question

Quelle est la vitesse angulaire d'un objet s'il met 12 secondes à effectuer une orbite ?

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Réponse

\[\omega = \frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{12}=0{,}52\,rad/s\]

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Question

Quelle est la vitesse angulaire d'un objet s'il met 3 secondes pour effectuer trois orbites ?

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Réponse

L'objet effectue une orbite par seconde, donc la période est : \(T=1s\) et \(\omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{1} =2 \pi \hspace{5px} rad/s\)

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Question

Si un objet A met moins de temps à parcourir une orbite qu'un objet B, lequel a une vitesse angulaire plus grande ?

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Réponse

L'objet A

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Question

Le déplacement angulaire peut-il être supérieur à une orbite (2π ou 360 degrés) ?

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Réponse

Oui, c'est possible.

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