Dilatation du temps

Comment calculer la dilatation du temps ?

Pour calculer la dilatation du temps, tu dois d'abord imaginer quelles variables ressemblent à quelles quantités. Pour cela, jette un coup d'œil à l'exemple ci-dessous.

Considérons un passager de train muni d'une horloge qui chronomètre une impulsion lumineuse réfléchie entre deux miroirs horizontaux dans le wagon, l'un directement au-dessus de l'autre à une distance L, comme illustré dans la figure 1 . Un deuxième spectateur observe le train qui se déplace sur une voie parallèle à un quai.

Un diagramme montrant les deux vues, (a) est la vue depuis le train, et (b) est la vue depuis le quai, Tezcan - StudySmarter Originals

Considérons les chemins suivis par la lumière telle qu'elle est vue par chaque observateur. L'observateur à l'intérieur du train voit la lumière parcourir un aller-retour en ligne droite sur une distance totale de 2L. L'observateur sur le quai voit la lumière parcourir une distance totale de 2s puisque le train se déplace à une vitesse v vers la droite par rapport au quai.

Nous savons que la lumière se déplace à une vitesse c = 3,00 ⋅¹⁰⁸ par rapport à n'importe quel observateur et que le temps est la distance divisée par la vitesse. Le temps mesuré par l'observateur à l'intérieur du train est donc le suivant

\[\Delta t_0 = \frac{2L}{c}\]

Et c'est le bon moment. L'heure observée par l'observateur sur la plateforme sera

\Delta t = \frac{2s}{c}

Donnons maintenant un nom de variable à \(\frac{vt}{2}\) comme d. Pour trouver la relation entre Δt0 et Δt, tu dois considérer les triangles formés par L et s, le troisième côté de ces triangles similaires est d. Si tu appliques le théorème de Pythagore, alors s sera...

\[s = \sqrt{L^2 + d^2}\]

Nous avons trouvé que Δt est égal à \(\frac{2s}{c}\). Pour le placer dans l'équation, nous devons multiplier le côté droit de l'équation par 2 et le diviser par c:

\[\Delta t = \frac{2s}{c} = \frac{2\sqrt{L^2 + d^2}}{c}\].

En élevant les deux côtés au carré et en écrivant d comme \(\frac{vt}{2}\)

\[(\Delta t)^2 = \Big( \frac{2\sqrt{L^2 + d^2}{c} \Big)^2= \frac{4(L^2+d^2)}{c^2} = \frac{4(L^2+(\frac{vt}{2})^2)}{c^2} =\frac{4L^2 + (vt)^2}{c^2} \]

Remarquez que \(\frac{4L^2}{c^2}\) est égal à (_Δt0⁾².

\[(\Delta t)^2 = (\Delta t_0)^2 + \frac{(vt)^2}{c^2}\]

Si nous le résolvons pour Δt

\[(\Delta t)^2 \cdot \Big (1 - \frac{v^2}{c^2} \Big) = (\Delta t_0)^2\]

Cela nous donne alors

\[(\Delta t)^2 = \frac{(\Delta t_0)^2}{\Big( 1 - \frac{v^2}{c^2} \Big)}\]

Maintenant, si nous prenons la racine carrée des deux côtés, nous obtiendrons une relation simple entre les temps écoulés.

\[\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}= \gamma \Delta t_0\]

Où

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\]

Quel est un exemple de dilatation du temps ?

La dilatation du temps peut sembler impossible à observer dans la vie réelle puisqu'elle se produit à des vitesses relatives, mais dans la technologie actuelle, les humains interagissent avec l'espace plus que jamais.

Le système de positionnement global, ou GPS, en est un excellent exemple. Il est utilisé dans presque tous les domaines de la vie. Les signaux GPS voyagent à des vitesses relativistes, ce qui signifie que les corrections pour la dilatation du temps doivent être effectuées. Sinon, le système GPS tomberait en panne en quelques minutes.

Le GPS est un exemple concret de l'importance de la dilatation du temps.

Un autre grand exemple de dilatation du temps est l'expérience de Frisch-Smith. L'expérience Frisch-Smith a été menée en 1963 par David H. Frisch et consistait à mesurer une quantité de muons dans l'atmosphère émis par le Soleil par unité de temps. La vitesse moyenne des muons provenant du soleil est très élevée et proche de la vitesse de la lumière.

L'expérience a mesuré la quantité de muons en deux points présentant une différence d'altitude de 1907 mètres, que les muons devraient mettre 6,4 µs à parcourir. Cependant, la durée de vie moyenne d'un muon est de 2,2 μs, ce qui signifie que seuls environ 25 % des muons atteindraient le point final. Cependant, environ 73 % des muons atteignaient le point final par heure, car leur temps propre est plus petit que le temps propre d'un observateur sur Terre. Cela confirme que le temps s'écoule plus lentement pour eux avec un facteur de dilatation du temps de 8,80,8.

Résultats de l'expérience de Frisch-Smith, Tezcan - StudySmarter Originals