Pourquoi les objets se déplacent-ils comme ils le font ? Qu'est-ce qui fait qu'un objet se déplace ? Qu'est-ce qui fait qu'il se déplace plus vite ou moins vite ? L'étude de la dynamique des forces apporte des réponses à ces questions. Les forces sont responsables pour les changements de mouvement, et les principes de la dynamique expliquent comment.
Dynamique : L'étude de la relation entre les forces et le mouvement.
Pour connaître la dynamique, il faut comprendre le concept de force et les lois du mouvement de Newton. Dans la suite, nous allons les exposer ainsi que les représentations des forces, et comment s'en servir pour résoudre des problèmes de mécanique dynamique.
Dynamique des forces
Force : Une action de tirer ou pousser due à l'interaction entre deux objets ou plus.
Si ton frère te pousse, il exerce une force sur toi. Si tu promènes un chien, il est susceptible d'exercer une force sur toi en tirant sur la laisse.
Un objet ne peut exercer de force sur lui-même. Une force nécessite au moins deux objets, y compris des choses comme des surfaces ou des fluides.
Il y a de nombreux différents types de forces. Les deux exemples précédents sont des forces de contact, car les corps qui interagissent sont en contact. Parmi ce type de forces, on compte également les forces de frottement solide et de frottement fluide, la force de rappel d'un ressort, la poussée d'Archimède et la réaction normale d'un support. Il existe aussi des forces à distance, pour lesquelles les corps qui interagissent n'ont pas besoin de se toucher, comme la force gravitationnelle, la force électrique et la force magnétique. L'image ci-dessous représente toutes ces forces.
Figure 1. Types de forces
À chaque fois qu'un objet démarre, s'arrête, ralentit, accélère ou change de direction, une force créé ce changement. Tous ces changements sont décrits par une accélération non nulle. Donc dès qu'un objet a une accélération non nulle, on sait qu'une force est appliquée dessus.
Les forces sont des vecteurs, ce qui signifie qu'elles ont une norme, un point d'application, une direction et un sens. La norme détermine avec quelle intensité les objets sont tirés, le point d'application détermine en quel point s'applique la force, la direction donne la droite selon laquelle la force est dirigée et le sens précise vers quelle côté la force est dirigée (pour une direction horizontale, le sens peut être vers la droite ou vers la gauche). La norme, la direction et le sens de la force sont directement reliés à la norme, la direction et le sens de l'accélération. Deux forces peuvent également avoir des sens opposés et se compenser donc il est possible qu'un objet soit immobile bien que des forces s'appliquent sur lui.
Puisque les forces produisent des accélérations, une force est mesurée par la quantité d'accélération qu'elle produit. L'unité du système international (SI) pour la force est le Newton (N), ce qui correspond au \( \frac{kg.m}{s²} \). On peut comprendre cette unité en prenant une masse unitaire : si on pousse une masse de 1 kg avec une force de 1 N, alors c'est comme si on lui confère une accélération de 1\( \frac{m}{s²} \) dans la direction de la force.
Quels sont les expressions de forces courantes ?
Des forces courantes dont les expressions sont connues sont la force de frottement solide, la force de rappel d'un ressort et la force du poids. Pour trouver d'autres forces dans les exercices comme la tension du fil et la réaction normale du support, il faut utiliser les autres forces. Pour cela, on utilise les lois du mouvement de Newton et les représentations des forces, comme décrit plus loin.
Force de frottement solide
On calcule la force de frottement solide en utilisant les deux formules suivantes, où \( \mu_s \) est le coefficient de frottement statique, \( \mu_d \) est le coefficient de frottement dynamique et \( F_n \) est la réaction normale du support. Dans le cas où l'objet est immobile, on a : \[ |F_f| \leq \mu_s \, |F_n| \] Cette force empêche l'objet de se déplacer. Elle vient compenser toute autre force qui tendrait à mettre l'objet en mouvement, et ce, dans la limite où ces forces restent inférieures au produit \( \mu \: |F_n| \). Dans le cas où l'objet est en mouvement, la formule devient : \[ |F_f| = \mu_d \: |F_n| \]
Les forces ont comme unité le Newton (N) et le coefficient de frottement est sans dimension. Ces deux lois sont appelées les lois de Coulomb du frottement solide.
Force de rappel du ressort
L'expression de la force de rappel d'un ressort est donnée par la loi de Hooke : \[ |F_s| = k|x| \] La variable \( k \) est la raideur du ressort et représente à quel point le ressort est rigide. Son unité est le N/m. La variable \( x \) est une distance qui mesure de combien le ressort à été comprimé ou étiré (en mètres).
Force du poids
La force de pesanteur due à la gravité aussi appelée poids, est égale à la masse (en kg) multiplié par l'accélération de la pesanteur (qui sur Terre vaut 9,8 m/s²) : \[ \vec{F_g} = m \vec{g} \]
Il est important de se souvenir que la masse n'est pas la même chose que le poids. La masse est mesurée en kilogrammes et ne change pas en fonction de la position, tandis que le poids est une force (mesurée en Newtons) égale à la masse fois l'accélération de la pesanteur, et donc change en fonction du champ gravitationnel dans lequel l'objet se trouve.
Quelles sont les lois du mouvement de Newton ?
Énoncé des lois de Newton
Les lois du mouvement de Newton expliquent la relation entre le mouvement d'un objet et les forces qui agissent sur lui. Les trois lois de Newton sont :
Première loi de Newton : Principe d'Inertie
Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un objet est nulle, celui-ci se déplace à vitesse et direction constante (mouvement rectiligne et uniforme) ou alors il est immobile.
Deuxième loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique (PFD)
Dans un référentiel galiléen, l'accélération d'un objet dépend de la masse et des forces qui s'appliquent sur lui selon la relation :\[ \sum \vec{F} = m \vec{a} \]
Troisième loi de Newton : Principe des Actions Résultantes
Si un objet exerce une force sur un deuxième objet, le deuxième objet exerce une force de même norme dans le sens opposé sur le premier objet.
La notion de référentiel
Les lois de Newton mentionnent la notion de référentiel galiléen. De quoi s'agit-il ? Tout d'abord, il faut avoir à l'esprit que pour étudier un mouvement, on doit nécessairement prendre une référence, ou référentiel, c'est-à-dire un objet par rapport auquel on repère le mouvement.
Prenons l'exemple du mouvement de la Lune. Par rapport à la Terre, la Lune se déplace sur une orbite à peu près circulaire. En revanche, par rapport au Soleil, la Lune a une trajectoire bien plus complexe, car elle suit le mouvement de révolution de la Terre autour du Soleil tout en tournant simultanément autour de la Terre.
Maintenant, tous les référentiels ne sont pas équivalents. Il existe une classe de référentiels bien particuliers dits galiléens, pour lesquels le principe d'inertie s'applique.
Pour être galiléen, un référentiel doit avoir un mouvement rectiligne et uniforme par rapport à un autre référentiel galiléen. En pratique, on peut considérer comme galiléen le référentiel terrestre qui correspond à tout objet immobile à la surface de la Terre. Comme exemple de référentiel non galiléen, on peut citer le manège. En effet, si on s'assoit et on reste sans bouger sur un siège qui tourne en suivant le mouvement de rotation du manège, on est alors en fait au repos par rapport au manège lui-même. Pourtant, on ressent une force dite centrifuge qui tend à nous éjecter vers l'extérieur et qui est d'autant plus forte que le manège tourne vite. Ainsi, le principe d'inertie n'est pas valable dans ce cas.
Représentation des forces
Pour représenter les forces agissant sur un objet, on trace un schéma qui nous aide à visualiser la situation et à poser les équations qui sont associées. On dessine les vecteurs représentant les forces comme des flèches dans la direction de la force, avec une longueur représentant l'intensité de la force. La figure suivante est un exemple d'un tel schéma :
Figure 2. Exemple de représentation de forces
Dans la figure, il y a quatre forces qui s'exercent sur l'objet : une force de réaction normale (\( F_n \)) dirigée vers le haut, une force du poids (\( F_g \)) dirigée vers le bas, une force de frottement (\( F_f \)) dirigée vers la gauche et une force de tension (\( T \)) dirigée vers la droite.
Lorsque l'on représente des forces sur une figure, la force du poids est dirigée vers le bas et la force de réaction normale du support est perpendiculaire à la surface.
Comment représenter les forces et utiliser les lois de Newton pour résoudre des problèmes ?
Lorsqu'on représente les forces sur une figure, on peut utiliser les lois de Newton pour comprendre le mouvement d'un objet. En particulier, on utilise la seconde loi de Newton donnée par l'équation : \[ \sum \vec{F} = m \vec{a} \] où la force \( \vec{F} \) est mesurée en Newton, noté N, la masse \( m \) en kg, et l'accélération \( a \) en m/s². Cette équation signifie que la somme vectorielles des forces (aussi appelée force résultante) agissant sur un objet est égale à la masse multiplié par l'accélération.
La force et l'accélération sont tous deux des vecteurs, ce que l'on indique par les flèches au-dessus des lettres. La direction de la force résultante détermine la direction de l'accélération de l'objet. Comme la deuxième loi de Newton est une équation vectorielle, on peut la décomposer suivant les trois différentes directions (par exemple, la somme des forces suivant x est égale à la masse fois l'accélération suivant x). On peut utiliser la relation de Chasles pour faire la somme des forces ou pour décomposer les forces en composantes suivant x, y et z.
La résultante des forces et l'accélération ont la même direction et le même sens. En revanche, cela ne veut pas dire que la résultante des forces a la même direction que le vecteur vitesse. Si un objet se déplace vers le haut mais il est tiré vers le bas par exemple par la gravité, l'accélération est dirigée vers le bas alors que l'objet continue de se déplacer vers le haut pour un temps, bien que de moins en moins vite.
Si une boîte de 25 kg glisse sur un plan incliné d'un angle \( \theta \) = 30\( ^\circ \) et que le coefficient de frottement vaut 0,2, quelle est l'accélération de la boîte ?
Tout d'abord, représentons la situation sur un schéma avec les forces qui s'appliquent sur la boîte :
Figure 3. Représentation des forces dans l'exemple
On a représenté sur la figure : la force de réaction normale du support perpendiculaire au plan incliné, la force de frottement dans le sens opposé au mouvement et la force du poids dirigée vers le bas.
Comme deux des trois forces sont soit perpendiculaires, soit parallèles au plan incliné, il est naturel de prendre comme système de coordonnées l'axe x parallèle au plan incliné et l'axe y perpendiculaire au plan incliné comme représenté sur la figure. Étant donné que le poids est diagonal dans ce repère, on souhaite le décomposer selon x et y, comme indiqué en rouge.
L'angle qui est représenté en rouge entre la perpendiculaire au plan incliné et la verticale vaut également \( \theta \) car si on le prolonge jusqu'au plan incliné, cela donne 90\( ^{\circ} \) ou \(\frac{\pi}{2} rd\). Or pour cela, on a ajouté l'angle opposé à \( \theta \) dans un triangle rectangle, donc un angle qui vaut \( \frac{\pi}{2} - \theta \). En outre, si \( x + ( \frac{\pi}{2} - \theta ) = \frac{\pi}{2} \) alors \( x = \theta \). On utilise ensuite la trigonométrie pour calculer ces composantes : \[ F_{gx} = F_g \sin \theta \] \[ F_{gy} = F_g \cos \theta \]
Pour trouver l'accélération de la boîte, on écrit alors la deuxième loi de Newton dans la direction x : \[ -F_f + F_{gx} = ma_x \] Pour trouver la force de frottement, on utilise l'expression écrite précédemment. Étant donné que la boîte glisse, on sait que la force de frottement vaut le coefficient de frottement multiplié par la réaction normale : \[ |F_f| = \mu |F_n | \] Pour trouver la réaction normale, on doit utiliser l'équation en y. Puisque que la boîte n'accélère pas suivant la direction y, la somme des forces dans cette direction vaut zéro : \[ F_n - F_{gy} = 0 \] On peut ainsi trouver la réaction normale en remplaçant \( F_{gy} \) par \( mg\cos \theta \) : \[ F_n = mg\cos \theta \] En injectant cela dans la première équation et en remplaçant \( F_{gx} \) par \( mg\sin \theta \) : \[ -(\mu mg\cos \theta) + ng\sin \theta = ma \] On peut ainsi résoudre l'équation en divisant par la masse et en réarrangeant les termes : \[ a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta ) \] Enfin, on peut faire une application numérique à l'aide des données de l'énoncé : \[ a = 9,\!8 (\sin 30^\circ - 0,\!2 \cos 30^\circ ) \] \[ a = 3,\!2 \,\text{m}/\text{s}² \] La boîte glisse vers le bas le long du plan incliné avec une accélération de 3,2 m/s².
Dynamique - Points clés
- La dynamique est l'étude de la relation entre les forces et le mouvement.
- Une force correspond à l'action de pousser ou tirer et provient de l'interaction entre deux objets ou plus.
- Les forces sont des vecteurs, ce qui signifie qu'ils ont un point d'application, une direction, un sens et une norme.
- Les forces induisent une accélération. La direction de la force résultante donne la direction de l'accélération.
- Les frottements, la force de rappel et le poids ont des expressions particulières qui permettent de les calculer. En revanche, ce n'est pas le cas de la tension et de la réaction normale du support.
- On représente les forces agissant sur un objet à l'aide d'un schéma.
- On utilise le schéma de la situation et les lois de Newton pour résoudre des problèmes qui font intervenir des forces.
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