L'oscillateur ressort-bloc

L'expérience de l'oscillateur masse-ressort

Un modèle simple d'un système qui présente un mouvement harmonique simple (SHM) est l'oscillateur ressort-masse, également appelé oscillateur harmonique simple linéaire. Comme le montre l'illustration ci-dessous, il s'agit d'un ressort horizontal relié à une masse \( m \) qui glisse sur une surface imaginaire sans frottement. L'oscillateur est décrit comme linéaire parce que la force produite par le ressort est directement proportionnelle à \( x \).

Diagramme de l'expérience de l'oscillateur harmonique linéaire simple utilisant un ressort relié à une masse. Dans sa position d'équilibre, le déplacement du bloc est de 0. Le déplacement maximal A aux extrémités de l'oscillation est également marqué. Originaux de StudySmarter

En étudiant la cinématique du mouvement harmonique simple, nous avons des équations pour le déplacement, la vitesse et l'accélération du bloc oscillant :

$$\text{Déplacement } \quad x(t)=A\cos\left( (\omega t)+ \phi \right)$$$.

$$\text{Veloctiy} \quad v(t)=-A\omega\sin\left( (\omega t)+ \phi \right)$$

$$\texte{Accélération } \quad a(t)=-A\omega^2\cos\left( (\omega t)+ \phi \right)$$$

Dans ces équations cinématiques pour le SHM, les variables sont les suivantes :

• \( A \) est l'amplitude maximale de l'oscillation en mètres \( \mathrm{(m)} \).

• \( \omega \) is the angular velocity of the SHM oscillation, given in radians-per-second \( \mathrm{(rad/s)} \).

• \( t \r) est le temps (l'instant auquel les valeurs doivent être calculées), mesuré en secondes \( \mathrm{(s)} \r).

• \( \phi \) est la constante de phase de l'oscillation, qui est une valeur représentant la position de l'oscillation à \( t=0\;\mathrm{s} \). Elle est exprimée en radians.

Formule de l'oscillateur à masse-ressort

D'après la deuxième loi de Newton, nous savons que la force exercée sur un objet est égale à sa masse multipliée par son accélération due à la force :

$$F=ma$$

Par conséquent, la force du ressort peut être assimilée à l'accélération de la masse :

$$F=(-k)x=ma$$.

$$F=ma=(-m)A\omega^2\cos\left( (\omega t )+\phi \right)$$$.

$$F = (-k)x=(-k) A\cos\left( (\omega t) + \phi \right)$$$

On peut ensuite les mettre en équation pour obtenir :

$$(-m)A\omega^2\cos\left( (\omega t )+\phi \right)=(-k) A\cos\left( (\omega t) + \phi \right)$$$.

Les facteurs \N- A et \N- \N- \Ncos\Nleft( (\Nomega t )+\Nphi \Nright) \N- dans cette équation s'annulent en même temps que le facteur \N- -1 \N-, ce qui nous laisse avec :

$$m\omega^2=k$$

$$\oméga = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$$$

Cette équation nous indique la fréquence angulaire naturelle d'un système d'oscillateur à bloc-ressort, qui est indépendante de l'amplitude de l'oscillation. Les unités de fréquence angulaire sont les radians par seconde, une rotation de \( 2\pi \) radians représentant une oscillation complète. Nous pouvons également l'utiliser pour trouver la fréquence et la période de temps de l'oscillation. En effet, la fréquence angulaire est directement liée à la fréquence d'oscillation et à la période de temps :

$$f= \frac{\omega}{2\pi}$$.

$$T=\frac{1}{f}=2\pi\omega$$

Où la fréquence d'oscillation \( f \N) a des unités de Hertz \N( \Nmathrm{(Hz)} \N), et la période de temps \N( T \N) est mesurée en secondes \N( \Nmathrm{(s)} \N).

Cela signifie que pour l'oscillateur à bloc-ressort :

$$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Équation énergétique pour l'oscillation d'un bloc-ressort

Il est utile d'examiner comment l'énergie est transférée dans l'oscillateur à bloc-ressort pour bien comprendre ce qui se passe dans le système et pourquoi il présente un SHM. L'énergie potentielle d'un ressort comprimé ou étendu peut être calculée en tenant compte du travail nécessaire pour comprimer ou étendre le ressort jusqu'à cette position :

$$W = \bar{F}x$$$

Rappelle-toi que la force du ressort varie au fur et à mesure qu'il est comprimé - mais comme elle varie de façon linéaire, nous pouvons utiliser une force moyenne et obtenir le même résultat. La force moyenne \( \bar{F} \)est donnée par :

$$\bar{F}=\frac{1}{2}\left( F_1+F_0\right)$$

Où \N( F_0 \N) et \N( F_1 \N) sont la force du ressort (en Newtons) produite par le ressort non comprimé et le ressort comprimé, respectivement.

La distance \( x \r) à laquelle le ressort est comprimé (ou étiré) est la différence entre les déplacements \( x_1 \r) comprimé et \r non comprimé \( x_0 \r) :

$$x = x_1-x_0$$.

Nous pouvons substituer la loi de Hooke pour les forces du ressort( F_1 \N) et \N( F_0 \N) , ce qui nous donne :

$$W=\bar{F}s=\left[ \frac{1}{2}(F_1+F_0) \right]x =\left[ \frac{1}{2}(kx_1+kx_0) \right]x $$.

Nous pouvons simplifier cette équation en développant les termes :

$$W=-\frac{1}{2}\left( kx_1x+kx_0x \right)$$

Comme le déplacement non comprimé \( x_0=0\;\mathrm{m} \), cela implique que \( x_1=x \). Cela signifie également que tous les termes contenant \( x_0 \) se réduisent à zéro. En appliquant cela à l'équation du travail effectué pour comprimer le ressort, nous obtenons :

$$PE_{\text{spring}}=\frac{1}{2}kx^2$$

Nous savons, en étudiant la cinématique des SHM, que la vitesse d'oscillation est la plus élevée lorsqu'elle passe par le point d'équilibre et qu'elle est nulle aux points extrêmes de déplacement. Comme nous ignorons les pertes d'énergie lorsque nous étudions la SHM, nous savons que toute l'énergie potentielle stockée dans le ressort lorsqu'il est étiré ou comprimé doit être transférée dans l'énergie cinétique de l'oscillation lorsque le ressort est décomprimé, et que l'énergie totale \( PE+KE \) dans le système est constante.

$$PE_0+KE_0=PE_1+KE_1$$

$$\frac{1}{2}kx_0^2+\frac{1}{2}mv_0^2+\frac{1}{2}kx_1^2+\frac{1}{2}mv_1^2$$

Nous pouvons utiliser cette relation pour prédire la vitesse d'oscillation maximale lorsqu'un ressort est étiré d'une certaine quantité. Comme la vitesse \( v_1=0 \) au point de déplacement extrême \( x_1 \) , et le déplacement \( x_0=0 \) lorsque l'oscillation passe par le point d'équilibre, certains termes peuvent être supprimés, ce qui laisse :

$$\frac{1}{2}kx_1^2=\frac{1}{2}mv_0^2$$

$$kx_1^2=mv_0^2$$

$$v_0=\sqrt{\frac{kx_1^2}{m}}$$

Mettons cela en pratique.

Oscillateur vertical à masse-ressort

Si nous ajustons l'expérience du bloc-ressort de façon à ce que le bloc soit maintenant suspendu verticalement au ressort, comme le montre le schéma ci-dessous, nous introduisons l'effet de la gravité. Heureusement, nous pouvons utiliser une approche similaire d'analyse énergétique pour comprendre le comportement de ce système.

L'énergie totale du système est toujours constante pour un oscillateur vertical ressort-masse. Il nous suffit donc d'ajouter un terme pour l'énergie potentielle gravitationnelle à notre équation énergétique :

$$PE_0+KE_0=PE_1+KE_1$$

$$\frac12kx_0^2+mgx_0+\frac12mv_0^2=\frac12kx_1^2+mgx_1+\frac12mv_1^2$$