Indices de Miller

Considérons un plan qui coupe l'axe des x en 1, l'axe des y en 2 et qui est parallèle à l'axe des z. Les ordonnées sont \( \frac{1}{a} \), \( \frac{1}{2b} \), ∞. En les réciproquant, on obtient a, 2b, \( \frac{1}{∞} \) = 0. En simplifiant, on obtient (1,2,0) qui sont les indices de Miller pour le plan.

Imagine un cas où une force extérieure est appliquée au cristal. L'effet de cette force dépend en grande partie de la direction dans laquelle elle est appliquée. Ce comportement dépendant de la direction, comme la résistance à la traction ou la conductivité thermique, peut être prédit avec précision en connaissant les indices de Miller de la direction.

• Identifie les intercepts du plan avec les axes cristallographiques. Celles-ci sont généralement données sous la forme des constantes de réseau a, b et c. Si un plan n'intercepte pas un axe, il est pris pour l'infini (∞).
• Prends la réciproque de ces interceptions.
• Simplifie les intercepts réciproques jusqu'au plus petit ensemble d'entiers. Si nécessaire, multiplie par des fractions pour obtenir des nombres entiers.
• Les nombres entiers résultants sont les indices de Miller du plan, notés (hkl).

Dans les structures cubiques, où a = b = c et où tous les angles sont de 90 degrés, les indices de Miller peuvent être calculés simplement en identifiant les points d'intersection du plan avec les axes. Cependant, pour les structures non cubiques, les indices de Miller sont normalisés par rapport aux longueurs des arêtes des cellules unitaires.

À travers ces exemples, tu peux voir que des plans ayant les mêmes indices de Miller peuvent avoir des apparences différentes en fonction des intercepts, mais qu'ils conservent des orientations similaires.

Jette un coup d'œil à la représentation 2D du plan et repère ses ordonnées. Supposons, par exemple, que le plan intercepte l'axe des x à une valeur de 2 et l'axe des y à une valeur de 1. L'ordonnée à l'origine ne peut pas être identifiée car le plan est parallèle audit axe. Ainsi, les ordonnées correspondront à 2a, b et ∞.

Travaillons avec un autre exemple de plan qui intercepte l'axe des x à 1, l'axe des y à 1 et l'axe des z à 3. Les intercepts sont donc a, b et \( \frac{c}{3} \). En prenant la réciproque, on obtient \N( (1, 1, 3) \N). Une fois les indices de Miller calculés, ce plan se distingue comme étant le plan (113).

• Identifie les intercepts le long des quatre axes. Les axes a sont ceux qui sont à 120 degrés les uns des autres, tandis que l'axe c est perpendiculaire aux plans formés par ces trois axes.
• Prends la réciproque de ces points d'intersection, ce qui te donne \N( h, k, i, \N) et \N( l \N).
• Rationalise les fractions pour obtenir des nombres entiers, si possible.
• Garde à l'esprit la contrainte \( h + k + i = 0 \) pour les structures cristallines hexagonales. Si cette condition n'est pas remplie après avoir obtenu les nombres entiers pour \( h, k, \N) et \( i \N), effectue les changements nécessaires pour la garantir.
• Les nombres entiers résultants \( (h, k, i, l) \) sont les indices de Miller pour le plan.

Pour un autre plan qui coupe l'un des axes a à -3a, les deux autres à a, et l'axe c à 2c, les quatre points d'intersection sont -3a, a, a, et 2c. La réciproque de ces ordonnées donne -1/3, 1, 1 et 1/2. En multipliant chaque nombre par 3 pour éviter les fractions, on obtient -1, 3, 3 et 3/2 ou 1,5. Par conséquent, \N( h + k + i = -1 + 3 + 3 = 5 \N) qui n'est pas zéro. Pour y remédier, nous soustrayons cinq de la valeur redondante de 'i' (qui est 3 dans ce cas), ce qui donne -2. La condition est ainsi remplie, ce qui donne les indices finaux \((-1133)\).