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Calcul d'incertitude

Essaie de mesurer la largeur d'un mur, note ta mesure, puis demande à une autre personne de répéter la même chose. Si tu compares les deux mesures, il y a une grande possibilité qu'il y ait une petite différence entre les deux. Pourquoi ? Parce qu'il y a une incertitude rapportée à notre lecture. En fait, il y a une incertitude rapportée à toute mesure, que ce soit une incertitude de lecture, instrumentale ou systématique. Prendre ces sources d'erreurs en compte est essentiel pour juger la fiabilité de nos mesures ; comme dit le Professeur Walter Lewin : « Toute mesure que vous faites sans connaître son incertitude est complètement dénuée de sens ».

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Essaie de mesurer la largeur d'un mur, note ta mesure, puis demande à une autre personne de répéter la même chose. Si tu compares les deux mesures, il y a une grande possibilité qu'il y ait une petite différence entre les deux. Pourquoi ? Parce qu'il y a une incertitude rapportée à notre lecture. En fait, il y a une incertitude rapportée à toute mesure, que ce soit une incertitude de lecture, instrumentale ou systématique. Prendre ces sources d'erreurs en compte est essentiel pour juger la fiabilité de nos mesures ; comme dit le Professeur Walter Lewin : « Toute mesure que vous faites sans connaître son incertitude est complètement dénuée de sens ».

Peu de choses en physique sont aussi fondamentales pour le cadre expérimental que le calcul des erreurs. Le calcul d'erreur est utilisé dans tous les domaines de physique pour déterminer à quel point le résultat d'une mesure expérimentale est fiable. Cela se traduit par le niveau d'incertitude des résultats d'une expérience.

Dans ce résumé de cours, nous allons passer en revue :

  • le calcul d'incertitude : définition ;
  • le calcul d'incertitude de mesure ;
  • le calcul d'incertitude absolue ;
  • le calcul d'incertitude relative ;
  • le calcul d'incertitude : exemple ;

Qu'appelle-t-on le calcul d'incertitude ?

Avant d'aller plus loin, nous devons comprendre ce que sont les calculs d'erreurs. Lorsque nous recueillons des données en physique, qu'il s'agisse de mesurer la longueur d'un morceau de ficelle à l'aide d'une règle ou de lire la température d'un objet à l'aide d'un thermomètre, nous pouvons tenir compte des erreurs dans nos résultats. En général, les erreurs ne sont pas un problème tant qu'elles restent raisonnables et que nous pouvons les quantifier et ainsi comprendre l'incertitude qu'elles ajoutent aux résultats de l'expérience. C'est là que le calcul des erreurs entre en jeu. Nous utilisons le calcul d'incertitude pour nous aider à comprendre la précision de nos résultats et à expliquer quelles erreurs ont pu se produire.

Le calcul d'incertitude est le processus utilisé pour trouver le degré d'erreurs potentielles dans un ensemble de données ou un ensemble de résultats donnés.

Types d'erreurs

Il existe deux principaux types d'erreurs que vous devez connaître en physique : les erreurs systématiques et les erreurs aléatoires. Les erreurs systématiques sont les erreurs reliées à l'appareillage et à la fabrication. Quand on fabrique un appareil, il ne sera pas totalement optimisé, alors, une incertitude apparaîtra. C'est l'erreur systématique. En revanche, les erreurs aléatoires sont des erreurs qui ne sont que cela : aléatoires. Nous ne connaissons pas la raison pour qu'une erreur inattendue se produise ; elle se produit simplement de temps en temps. Nous pouvons souvent remédier à ces deux types d'erreurs en établissant une moyenne ou en les identifiant comme des anomalies.

Une anomalie est un résultat qui s'écarte de manière inattendue de la valeur normale en raison d'erreurs aléatoires.

Erreurs systématiques

Une erreur systématique est une erreur qui erreur qui provient de la manière dont la procédure expérimentale est menée. Elle peut être causée par les instruments ou l'équipement utilisés, un changement dans l'environnement ou des erreurs dans la façon dont l'expérience est menée.

Erreur instrumentale

Une erreur instrumentale est peut-être la source d'erreur la plus évidente dans une expérience – elle se produit lorsque la lecture sur un instrument est différente de la vraie valeur mesurée. Cela peut être causé par un mauvais étalonnage de l'instrument. Par exemple, si une balance affiche \(6 g\) alors qu'il n'y a rien dessus, cela introduira une erreur de \(6 g\) dans toutes les lectures faites avec elle. Dans ce cas, si je pèse des fraises et la balance affiche \(146 g\), alors leur véritable masse serait plutôt de \(140 g\).

Lorsqu'un instrument introduit une erreur constante dans les résultats à cause d'un mauvais étalonnage, on parle souvent de biais de l'instrument. La bonne nouvelle est que si le biais est identifié, il est généralement facile à corriger en recalibrant l'instrument et les relevés. Les instruments peu précis peuvent aussi introduire des erreurs aléatoires dans les résultats, qui sont beaucoup plus difficiles à corriger.

Erreur de procédure

Les erreurs de procédure sont introduites lorsque la procédure expérimentale est suivie de manière incohérente, ce qui entraîne des variations dans la façon dont les résultats finaux sont obtenus. Un exemple pourrait être la façon dont les résultats sont arrondis : si une valeur est arrondie vers le haut dans une lecture et vers le bas dans la suivante, cela introduirait des erreurs de procédure dans les données.

Erreur environnementale

Des erreurs peuvent également être introduites par des variations du comportement de l'expérience dues à des changements des conditions environnementales. Par exemple, si une expérience nécessite une mesure très précise de la longueur d'un spécimen, une variation de la température peut entraîner une légère dilatation ou contraction du spécimen, introduisant ainsi une nouvelle source d'erreur. D'autres conditions environnementales variables, telles que l'humidité, les niveaux de bruit ou même le vent, peuvent également introduire des sources d'erreur potentielles dans les résultats.

Erreur humaine

Les humains sont peut-être la cause d'erreur la plus courante dans le laboratoire de physique de ton lycée ! Même dans des contextes plus professionnels, les humains sont toujours susceptibles d'introduire des erreurs dans les résultats. Les sources d'erreur humaine les plus courantes sont un manque de précision lors de la lecture d'une mesure (comme l'erreur de parallaxe), ou l'enregistrement incorrect de la valeur mesurée (connu sous le nom d'erreur de transcription).

Les erreurs de parallaxe sont facilement rencontrées lors de la lecture d'une mesure sur une échelle, par exemple, sur un thermomètre ou une règle. Elles se produisent lorsque votre œil n'est pas directement au-dessus du repère de mesure, ce qui entraîne une lecture incorrecte en raison de la vue « oblique ». Un exemple de cet effet est montré dans l'animation ci-dessous – remarque comment les positions relatives des rangées de maisons semblent changer lorsqu'elles se déplacent de la gauche vers la droite du spectateur.

Calcul d'incertitude  Animation de l'effet de parallaxe StudySmarterFig 1 - Animation montrant l'effet de la parallaxe lors du passage devant des bâtiments.

Erreurs aléatoires

Comme les erreurs sont par nature aléatoires, elles peuvent être plus difficiles à contrôler lors de la réalisation d'une expérience. Il y aura inévitablement des incohérences lors de la prise de mesures répétées, en raison de variations de l'environnement, d'un changement dans la partie de l'échantillon ou du spécimen mesuré, ou même de la résolution de l'instrument qui fait que la valeur réelle est arrondie vers le haut ou vers le bas.

Afin de réduire les impacts potentiels des erreurs aléatoires dans les résultats, les expériences prendront généralement plusieurs mesures répétées. Comme on s'attend à ce que les erreurs aléatoires soient distribuées au hasard, plutôt que d'être biaisées dans une certaine direction, prendre une moyenne de plusieurs lectures devrait donner un résultat le plus proche de la vraie valeur. La différence entre la valeur moyenne et chaque lecture peut être utilisée pour identifier les anomalies, qui peuvent être exclues des résultats finaux.

Importance du calcul d'incertitude

Il est toujours important d'analyser les erreurs que tu peux avoir dans une série de résultats expérimentaux afin de comprendre comment les corriger ou les traiter. Une autre raison importante d'effectuer ce type d'analyse est le fait que de nombreuses études scientifiques sont réalisées à partir de résultats ou de données d'enquêtes précédentes. Dans ce cas, il est essentiel que les résultats soient présentés avec un niveau d'incertitude. En effet, cela permet de tenir compte des erreurs tout au long de l'analyse ultérieure et d'éviter que la propagation des incertitudes ne conduise à des erreurs inconnues.

Une autre chose essentielle à retenir lorsque tu fais une analyse des erreurs en physique est la différence entre la précision et l'exactitude. Par exemple, tu peux avoir un jeu de balances extrêmement précises, mais faire une mesure qui est terriblement imprécise parce que les balances n'ont pas été calibrées correctement. Ou bien, les balances peuvent être très exactes (avec une lecture moyenne très proche de la vraie valeur), mais imprécises, ce qui entraîne une grande variation dans les lectures.

La précision décrit le degré de répétabilité, ou de regroupement serré, des lectures d'un instrument. Un instrument précis aura de faibles niveaux d'erreur aléatoire.

L'exactitude décrit dans quelle mesure les lectures moyennes d'un instrument sont proches de la valeur réelle. Un instrument exact doit présenter de faibles niveaux d'erreur systématique.

Calcul d'incertitude de mesure

Les erreurs aléatoires inévitables lors d'une expérience se traduiront toujours par un niveau d'incertitude dans les lectures d'un instrument. Celle-ci définit une plage autour de la valeur mesurée dans laquelle la valeur réelle est censée se situer. En général, l'incertitude d'une mesure est nettement inférieure à la mesure elle-même. Il existe différentes techniques pour calculer la quantité d'incertitude. Cependant, une règle empirique commune pour la quantité d'erreurs à attribuer aux lectures prises à l'œil nu à partir d'un instrument tel qu'une règle est la moitié de la valeur incrémentale.

Nous désignons par la valeur incrémentale, la plus petite valeur sur un instrument de mesure. Par exemple, sur une règle graduée, la plus petite division est de 1 mm. Dans ce cas-là, l'erreur de lecture qui est la moitié de la plus petite division, sera de 0,5 mm.

Entre autres, si tu lis une mesure de \(194\ mm\) à partir d'une règle avec des graduations de \(1\ mm\), tu enregistrerais ta lecture comme suit : (\(194 \pm 0,5)mm\).

Cela signifie que la vraie valeur se situe entre \(193,\!5\ mm\) et \(194,\!5\ mm\).

Propagation des erreurs

Lors de l'analyse des résultats, si un calcul est effectué, il est important que l'effet de la propagation des erreurs soit considéré. Les incertitudes présentes pour les variables d'une fonction affecteront l'incertitude du résultat de la fonction. Cela peut devenir compliqué lorsqu'on effectue des analyses complexes, mais nous pouvons comprendre l'effet à l'aide d'un exemple simple.

Imagine que dans l'exemple précédent, le spécimen mesuré était un morceau de ficelle de longueur (\(194 \pm 0,\!5)mm\). Tu mesures ensuite un autre spécimen, et tu enregistres cette longueur comme (\(420 \pm 0,\!5)mm\). Si tu veux calculer la longueur combinée des deux spécimens, il faut aussi combiner les incertitudes, car les deux cordes pourraient être à la limite la plus courte ou la plus longue de leur longueur indiquée.

\[(194 \pm 0,\!5)mm + (420 \pm 0,\!5)mm = (614 \pm 1)mm\]

C'est également la raison pour laquelle il est important d'indiquer les résultats finaux avec un niveau d'incertitude, car tout travail futur utilisant tes résultats connaîtra la fourchette dans laquelle la valeur réelle est censée se situer.

Méthodes de calcul des erreurs

Les erreurs dans les mesures expérimentales peuvent être exprimées de plusieurs manières différentes, les plus courantes étant l'erreur absolue \(\Delta X\), l'erreur relative \(\frac{\Delta X}{X}\) et le pourcentage d'erreur.

Calcul d'incertitude absolue

L'erreur absolue est une estimation de l'écart entre une mesure et sa valeur réelle ou attendue. Elle est rapportée en utilisant les mêmes unités que la mesure originale. Comme la valeur réelle peut ne pas être connue, la moyenne de plusieurs mesures répétées peut être utilisée à la place de la valeur réelle.

Calcul d'incertitude relative

L'erreur relative (parfois appelée écart relatif) exprime la proportion de l'erreur absolue par rapport à la valeur totale de la mesure. Si tu t'es trompé de un mètre sur une mesure d'une longueur de 10 mètres alors tu as commis une erreur relative de 1 dixième.

Le pourcentage d'erreur

Lorsque l'erreur relative est exprimée en pourcentage, elle est appelée pourcentage d'erreur. Par exemple, une erreur relative de 1 dixième correspond à un pourcentage d'erreur de \(10%\).

Calcul d'incertitude en physique

Les différentes représentations des erreurs en physique ont chacune une expression que tu dois être capable d'utiliser. Regarde les équations ci-dessous pour voir comment nous calculons chacune d'entre elles grâce à la valeur mesurée \(X_m\) et la valeur réelle \(X_r\) :

Incertitude absolue :

\[\Delta X = \lvert X_r - X_m \rvert \]

Incertitude relative :

\[\frac{\Delta X}{X_r} = \frac{\lvert X_r - X_m \rvert}{X_r}\]

Pourcentage d'erreur :

\[\frac{\Delta X}{X_r} \times 100 \% = \frac{\lvert X_r - X_m \rvert}{X_r} \times 100 \%\]

Dans chacune de ces équations, la valeur réelle peut être considérée comme la moyenne de plusieurs lectures lorsque la vraie valeur est inconnue.

Ces formules sont simples à retenir, et tu devrais les utiliser de manière séquentielle pour effectuer une analyse d'erreur approfondie de ton expérience terminée. La meilleure façon de le faire est d'utiliser une feuille de calcul pour enregistrer tes résultats, qui peut être configurée pour calculer automatiquement ces trois valeurs au fur et à mesure que chaque lecture est saisie.

Calcul d'incertitude : exercice

Tu as un emploi d'été dans une ferme de poulets, et l'une des poules vient de pondre un œuf qui pourrait battre un record. L'agriculteur t'a demandé d'effectuer une mesure précise de l'œuf géant pour déterminer si la poule est potentiellement une volaille primée. Heureusement, tu sais qu'afin d'énoncer correctement tes mesures de l'œuf, tu devras effectuer une analyse des erreurs !

Tu prends 5 mesures de la masse de l'œuf et tu enregistres tes résultats dans le tableau ci-dessous.

NuméroMasse (g)Incertitude absolueIncertitude relativePourcentage d'erreur
1.\(71,\!04\)
2.\(70,\!98\)
3.\(71,\!06\)
4.\(74,\!03\)
5.\(70,\!97\)
Moyenne \(X_r\)\(71,\!61\)

Après avoir calculé la moyenne de l'ensemble des mesures, tu peux ensuite l'utiliser comme la valeur réelle pour calculer les valeurs d'erreur à l'aide des formules données précédemment.


NuméroMasse (g)Incertitude absolueIncertitude relativePourcentage d'erreur
1.\(71,\!04\)\(- 0,\!57\)\(0,\!008\)\(0,\!8 \%\)
2.\(70,\!98\)\(-0,\!63\)\(0,\!009\)\(0,\!9 \%\)
3.\(71,\!06\)\(0,\!55\)\(0,\!008\)\(0,\!8 \%\)
4.\(71,\!03\)\(2,\!42\)\(0,\!034\)\(3,\!4 \%\)
5.\(70,\!97\)\(-0,\!64\)\(0,\!009\)\(0,\!9 \%\)
Moyenne \(X_r\)\(71,\!61\)\(1,\!36 \%\)

En analysant les valeurs d'erreur, nous pouvons voir que la mesure numéro 4 a une erreur beaucoup plus importante que les autres relevés, et que les valeurs d'erreur moyennes en pourcentage pour toutes les mesures sont raisonnablement grandes. Cela indique que la mesure 4 pourrait être une anomalie due à un facteur environnemental. Nous décidons ainsi de la supprimer de l'ensemble de données et de recalculer les erreurs dans le tableau ci-dessous.


NuméroMasse (g)Incertitude absolueIncertitude relativePourcentage d'erreur
1.\(71,\!04\)\(0,\!03\)\(0,\!0004\)\(0,\!04 \%\)
2.\(70,\!98\)\(-0,\!03\)\(-0,\!0004\)\(0,\!04 \%\)
3.\(71,\!06\)\(0,\!05\)\(0,\!0007\)\(0,\!07 \%\)
5.\(70,\!97\)\(-0,\!04\)\(-0,\!0006\)\(0,\!06 \%\)
Moyenne \(X_r\)\(71,\!01\)\(0,\!05 \%\)

Après avoir recalculé les valeurs d'erreur, nous pouvons constater que le pourcentage d'erreur moyen est maintenant beaucoup plus faible. Cela nous donne un plus grand degré de confiance dans notre mesure moyenne de \(71,\!01 g\) d'approximation de la masse réelle de l'œuf.

Afin de présenter notre valeur finale de manière scientifique, nous devons inclure une incertitude. Bien que la règle de base présentée plus tôt dans l'article convienne lorsqu'on utilise un instrument tel qu'une règle, nous pouvons clairement voir que nos résultats varient de plus de la moitié du plus petit incrément sur notre échelle. Nous devrions plutôt examiner les valeurs de l'erreur absolue afin de définir un niveau d'incertitude qui englobe toutes nos lectures.

Nous pouvons voir que la plus grande erreur absolue dans nos relevés est de \(0,\!05\), nous pouvons donc déclarer notre mesure finale comme étant :

\[Masse = 7,\!01 \pm 0,\!05g\]

Calcul d'incertitude - Points clés

  • Le calcul d'erreur est le processus utilisé pour déterminer l'importance d'une erreur dans un ensemble de données ou un ensemble de résultats donné.
  • Il existe deux principaux types d'erreurs que vous devez connaître lorsqu'il s'agit d'expériences de physique : les erreurs systématiques et les erreurs aléatoires.
  • L'erreur absolue exprime l'écart entre une mesure et sa valeur réelle.
  • L'erreur relative et le pourcentage d'erreur expriment tous deux l'importance de l'erreur absolue par rapport à la taille totale de l'objet mesuré.
  • En effectuant le calcul d'incertitude, nous pouvons plus facilement identifier les anomalies dans nos ensembles de données.
  • Le calcul d'incertitude nous aide également à attribuer un niveau d'incertitude approprié à nos résultats, car aucune mesure ne peut jamais être parfaitement exacte.

Questions fréquemment posées en Calcul d'incertitude

On calcule l'incertitude absolue en effectuant la soustraction entre la valeur réelle de la mesure et la valeur mesurée. Quant à l'incertitude relative, nous la calculons en divisant l'incertitude absolue pas la valeur réelle de la mesure.

En examinant l'écart entre la valeur mesurée et la valeur réelle.

La précision d'une mesure est trouvée en examinant le nombre de chiffres significatifs dans nos mesures.

La formule de l'incertitude absolue est : ΔX = X- Xm

Nos mesures ne sont pas parfaites, elles sont sujettes à plusieurs sources d'erreur. Le calcul d'incertitude en physique tient compte de ces erreurs et les repartit en plusieurs catégories pour en savoir de combien dévie la valeur mesurée de la valeur réelle, et pour essayer de les minimiser pour aboutir à des résultats confiables.

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L'erreur en pourcentage est également connue sous le nom de

Le pourcentage d'erreur est une expression de la distance entre une mesure et la valeur réelle mesurée.

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