La loi de Gauss

Description de la loi de Gauss

Dans les cours de physique AP précédents, nous avons abordé divers aspects de l'électrostatique et de l'électromagnétisme, y compris la façon de calculer le champ électrique total d'un groupe de particules chargées. Cependant, nous n'avons jamais vraiment expliqué l'origine de cette formule ni comment elle a été dérivée. En 1867, le physicien et mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss a élaboré une théorie permettant de calculer le champ électrique externe en fonction de la quantité de charge enfermée dans une surface. La théorie qu'il a élaborée est l'une des équations de l'électrodynamique de Maxwell.

Cette théorie a été baptisée loi de Gauss, elle nous permet de décrire le flux électrique à travers une surface gaussienne en fonction de la charge enfermée dans une surface gaussienne. Mais qu'est-ce qu'une surface gaussienne ?

Il est important de noter qu'en vertu de la loi de Gauss, la position et l'orientation des charges enfermées dans la surface gaussienne n'ont aucune importance. Le seul facteur contribuant au champ électrique environnant est la quantité totale de charges enfermées.

Formule de la loi de Gauss

Nous allons maintenant te présenter la formule de la loi de Gauss. Elle est donnée par

\[ \Phi_{\text{E}} = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0} ,\]

où \( \Phi_{\text{E}}\) est le flux électrique à travers la surface gaussienne généré par le groupe de charges mesuré en \(\mathrm{\frac{V}{m}}\), \(q_{{text{enclosed}} \) est la charge totale enfermée par la surface gaussienne mesurée en coulombs \(\mathrm{C}\), et \(\epsilon_0\) est la permittivité du vide donnée par une valeur de \( 8.85 fois 10^{-12} \, \mathrm{\frac{F}{m}} \). Il s'agit de la forme la plus simple de la loi de Gauss pour une charge ponctuelle, mais nous pouvons également introduire la forme intégrale comme suit

\[ \oint_A \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{A} = \frac{q_{\text{enclosed}}{\epsilon_0}, \]

où \(\vec{E}\) est le vecteur de champ électrique mesuré en unités de \(\mathrm{\frac{V}{m}}\), \(\mathrm{d}\vec{A}\) est le vecteur de surface infinitésimale mesuré en \(\mathrm{m^2}\), et toutes les autres quantités sont les mêmes que précédemment. Il est également important de noter que la première équation implique le flux électrique à travers la surface \(\Phi_{\text{E}}\), tandis que la deuxième équation implique le vecteur de champ électrique \(\vec{E}\). De plus, le produit de point entre \(\vec{E}\) et \(\mathrm{d}\vec{A}\) montre que nous ne considérons que les composantes du champ électrique perpendiculaires à la surface gaussienne.

Dérivation de la loi de Gauss

Précédemment, nous avons présenté deux formes de la loi de Gauss jusqu'à présent, mais nous avons également une troisième forme, la loi de Gauss sous forme différentielle. Pour comprendre la dérivation, nous devons d'abord couvrir rapidement le théorème de la divergence. Ce théorème, également inventé par Gauss, stipule que

\[ \int_V ( \nabla \cdot \vec{F} ) \, \mathrm{d} V = \oint_S \vec{F} \cdot \c, \mathrm{d} \vec{S} ,\N]

où \nabla \cdot \vec{F}\) est la divergence du champ de vecteurs \(\vec{F}\), \(\mathrm{d} V\) est le volume infinitésimal, et \(\mathrm{d} S\) est la surface infinitésimale. Cela montre comment nous pouvons relier l'intégrale de volume de la divergence d'un champ de vecteurs à une intégrale de surface fermée du flux du champ de vecteurs.

Pour en revenir à la loi de Gauss, commençons par la forme intégrale, en substituant le théorème de la divergence pour obtenir

\[ \begin{align} \oint_A \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{A} &= \frac{q_{\text{enclosed}}{\epsilon_0} \\N-int_V (\N-abla \Ncdot \Nvec{E} ) \N-, \Nmathrm{d} V &= \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0} . \Nend{align} \]

L'étape suivante consiste à introduire une autre forme d'intégrale qui relie la densité de charge et la charge enfermée. En prenant une intégrale de volume de la densité de charge \(\rho\), nous constatons que nous pouvons réécrire la charge totale comme suit

\[ Q = \int_V \rho \, \mathrm{d} V,\]

où \(Q\) est la charge totale mesurée en coulombs \(\mathrm{C}\) et \(\rho\) est la densité de charge mesurée en \(\mathrm{\frac{C}{m^3}}\).

Cela nous permet donc de réécrire la loi de Gauss comme suit

\[ \int_V (\nabla \cdot \vec{E} ) \, \mathrm{d} V = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} \, \mathrm{d} V .\]

Nous voyons maintenant que nous avons deux intégrales de volume équivalentes de chaque côté, ce qui nous permet de les annuler. Nous obtenons donc

\[ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} .\]

Cette équation est ce que nous appelons la loi de Gauss sous sa forme différentielle. Il est important de noter que les formes intégrale et différentielle de la loi de Gauss sont valables dans tous les cas généraux, alors que la première équation que nous avons introduite ne s'applique qu'aux charges ponctuelles. En introduisant ces deux formes basées sur le calcul, nous serons en mesure de traiter des problèmes beaucoup plus délicats impliquant le calcul d'un champ électrique.

Exemples de la loi de Gauss

Prenons maintenant un exemple dans lequel nous utilisons la forme intégrale de la loi de Gauss.

La loi du magnétisme de Gauss

Gauss n'a pas seulement trouvé cette équation pour les champs électriques, mais aussi une équation similaire pour les champs magnétiques. C'est également l'une des équations de Maxwell pour l'électromagnétisme.

En comparant la loi de Gauss pour les champs magnétiques et les champs électriques, on constate que la divergence d'un vecteur de champ magnétique est nulle, tandis que la divergence d'un vecteur de champ électrique n'est pas nulle. La signification de ces deux équations nous indique que les monopôles magnétiques n'existent pas . Un dipôle magnétique est un objet qui possède à la fois un pôle nord et un pôle sud, comme un atome avec un électron en orbite ou un barreau aimanté. Contrairement aux monopôles électriques, tels que les particules chargées, nous n'avons pas d'équivalent lorsque nous pensons aux objets magnétiques.