Champs gravitationnels

Tu as sûrement entendu l'expression "ce qui monte doit redescendre". En termes de physique, comme l'a découvert Sir Isaac Newton, ce qui s'éloigne de la terre sera repoussé vers elle. Ainsi, lorsque tu lances une balle en l'air, qu'elle aille tout droit vers le haut, vers la gauche ou vers la droite, elle finit par retomber sur le sol. Et cela est vrai quelle que soit la hauteur à partir de laquelle la balle est lâchée.

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    En fait, il faut une force importante, comme les moteurs d'un avion et la force de portance produite par les ailes, pour continuer à pousser un objet loin de la terre. Sans ces forces, il tomberait du ciel.

    Qu'est-ce que la gravité ?

    La gravité est une force qui attire tous les objets ayant une masse les uns vers les autres. Comme la terre a une masse, elle attire les autres objets vers elle. Il en va de même pour les autres objets, qui s'attirent de la même façon les uns les autres, y compris la terre. Même nous, nous attirons la terre vers nous grâce à la force de gravité.

    Mais pourquoi n'est-ce pas évident ? Pourquoi ne voyons-nouspasd'autres objets s'attirer les uns les autres, étant donné qu'ils ont tous une masse ? Nous allons nous pencher sur cette question dans ce qui suit.

    La gravité n'est pas seulement une force mais un champ de force

    Un champ de force est une région dans laquelle un objet subit une force sans contact.

    Les champs de force provoquent une interaction entre les objets et les particules sans que les objets ne se touchent. Dans le cas de la gravité, cette interaction se produit entre des masses. Tout objet subira une force d'attraction si tu le places dans le champ gravitationnel d'un autre objet.

    Faits sur la force gravitationnelle

    La force gravitationnelle est une force sans contact qui est toujours attractive. Cela signifie qu'elle peut agir à distance et qu'il n'est pas nécessaire que les objets qui interagissent se touchent. En général, lorsque nous pensons à la gravité agissant sur un système, nous pouvons considérer que la force gravitationnelle s'exerce directement sur le centre de masse du système.

    Lecentre de masse est la position moyenne pondérée de la distribution des masses d'un système.

    Le centre de masse d'une sphère dont la répartition des masses est uniforme se trouve en son centre géométrique.

    La force de gravité s'exerce toujours le long de la ligne reliant les centres de masse des objets en interaction. De plus, la force de gravité qui agit entre eux est une paire action-réaction, c'est-à-dire des forces d'égale grandeur et de directions opposées.

    La force gravitationnelle que la Terre exerce sur le Soleil a la même ampleur que la force que le Soleil exerce sur la Terre, mais de direction opposée.

    Forces gravitationnelles Force gravitationnelle entre le Soleil et la Terre StudySmarterFig. 2 - La force gravitationnelle que la Terre exerce sur le Soleil, \(F_{g,\space Terre,\space Soleil}\), a la même magnitude et la même direction opposée que la force que le Soleil exerce sur la Terre\(F_{g,\space Terre,\space Soleil}\). Cependant, elles agissent toutes deux le long de la ligne qui relie leurs centres de masse.

    La force gravitationnelle entre deux objets ayant une masse peut être très similaire à la force électrostatique entre deux objets chargés. Après tout, il s'agit dans les deux cas de forces sans contact qui peuvent rapprocher des objets à distance. Cependant, il existe de nombreuses différences importantes, c'est pourquoi il ne faut pas confondre ces deux forces. Voyons un peu plus en détail comment elles se comparent.

    La représentation vectorielle des champs de force

    Les champs de force peuvent être représentés comme un système de vecteurs, comme dans ce diagramme, où les flèches représentent le champ gravitationnel sur la terre.

    Champs gravitationnels. Lignes de champ gravitationnel. StudySmarter.Figure 1. Lignes du champ gravitationnel. Source : Sjlegg, Wikimedia Commons (Domaine public).

    Lechamp gravitationnel de la Terre est radial, ce qui signifie que les lignes de force se croisent au centre de la Terre.

    Comme le montre le diagramme, les lignes du champ sont plus proches les unes des autres à la surface de la terre. Cela indique que la force gravitationnelle est plus forte à cet endroit. Lorsque les lignes s'éloignent les unes des autres, la force diminue.

    Comment calculer la force de gravité ?

    Jette un coup d'œil à l'équation ci-dessous, qui représente laloi de la gravitation de Newton:

    \[F = G \frac{m_1m_2}{r^2}\]

    • F = ampleur de la force gravitationnelle.
    • G = constante gravitationnelle.
    • r = distance entre les centres des deux masses.
    • m1 = masse de l'un des objets.
    • m2 = masse de l'autre objet.

    Champ gravitationneldeNewton : lorsque deux corps sont placés dans un champ gravitationnel, ils subissent une force qui est le produit des deux masses et de l'inverse du carré de la distance entre les centres des deux masses.

    La constante G est une constante gravitationnelle dont la valeur est très faible :

    \[G = 6,67430 \cdot 10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2}\].

    Calcule la force gravitationnelle entre deux sphères de 3kg qui sont séparées de 2m.

    La masse des deux objets est de 3 kg. Donc m1 et m2 valent 3kg, tandis que r vaut 2m, G étant \(6,67 \cdot 10 ^ {-11} \frac{Nm ^ 2}{kg ^ 2}\). En mettant toutes les valeurs, on obtient :

    \[F = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{3 \cdot 3}{2^2}\].

    \[F = 1,5 \cdot 10^{-10}\]

    La constante gravitationnelle G, qui, comme nous l'avons dit, a une valeur très faible, est la raison pour laquelle les objetsnevolent pas et n'entrent pas en collision les uns avec les autres. C'est aussi la raison pour laquelle la terre n'est pas attirée par nous mais nous par elle. Après tout, notre masse est négligeable par rapport à celle de la terre.

    Champs gravitationnels. Force de gravité entre deux objets. StudySmarter. Figure 2. Force F agissant surm2 à cause de m1.

    La distance entre les deux objets a plus d'impact que leurs masses car l'équation de la gravitation de Newton suit une loi de l'inverse du carré. Cela signifie que si la distance double, la force est quatre fois moins importante que la force initiale.

    Quelle est la force gravitationnelle d'une masse unique ?

    La force d'une masse unique est sa force de champ gravitationnel, qui est définie comme la force par unité de masse lorsqu'elle est placée dans un champ gravitationnel.

    \[g = \frac{F}{m}\]

    • g est mesuré en newtons par kilogramme (\(N \cdot kg^{-1}\)).
    • F est la force subie par la masse m lorsqu'elle est placée dans un champ gravitationnel.

    Comme le champ gravitationnel àlasurface de la terre est presque uniforme, nous pouvons supposer que g est constant. Par conséquent, g est simplement l'accélération de la masse m dans un champ gravitationnel.

    Masses ponctuelles

    Les masses ponctuelles sont des objets qui se comportent comme si toute la masse était concentrée en leur centre. Les formes uniformes ont une masse ponctuelle.

    L'importance des masses ponctuelles réside dans le fait qu'elles possèdent un champ gravitationnel radial. En l'occurrence, les lignes du champ rayonnent à partir de son centre. Pour les masses ponctuelles, l'équation précédente devient :

    \[g = \frac{Gm}{r^2}\]

    • m = masse de l'objet (kg).
    • G = constante gravitationnelle (\(6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2}\)).
    • r = distance du centre (m).

    La force du champ gravitationnel des autres planètes

    La force gravitationnelle dépend de la masse de la planète. Mars, par exemple, a une force de champ gravitationnel de 3,71 N/kg parce qu'elle ne fait que la moitié du diamètre de la Terre. Mais, et c'est là que vient la partie intéressante, ton poids dépend aussi de la force gravitationnelle g.

    Masse et poids

    Ta masse est la même où que tu ailles dans l'univers. Ce qui diffère, c'est ton poids, qui dépend non seulement de ta masse mais aussi de la gravité. Ainsi, par exemple, si tu pèses 99,8 kg sur Terre, tu ne pèseras que 37,74 kg sur Mars.

    La force gravitationnelle de la lune est de 1,62 N/kg. C'est pourquoi sur la lune, il est plus facile de voler que de marcher. Sur Mars, marcher devient un peu plus facile mais reste un défi en raison de la faible force gravitationnelle.

    Masse et distance

    Les marées qui se forment à la surface de la terre montrent comment la masse et la distance affectent la force gravitationnelle.

    Les marées qui se forment àlasurface de la terre sont dues à l'attraction gravitationnelle de la lune et du soleil. Et bien que le soleil ait une masse beaucoup plus importante que la terre, la distance entre les deux joue un rôle important en raison de la proportionnalité inverse du carré. Comme la lune est beaucoup plus proche de la terre,lesocéans réagissent à la rotation de la lune autour de la terre, ce qui provoque les marées. Le soleil a également un impact, mais les marées produites par le soleil sont beaucoup plus faibles.

    Exemples de force gravitationnelle

    Il est temps de justifier les affirmations farfelues que nous avons présentées précédemment. Commençons par discuter de la raison pour laquelle une Terre creuse pourrait présenter une absence de gravité à l'intérieur. C'est la conséquence d'un résultat connu sous le nom de théorème de la coquille de Newton, qui stipule que la force gravitationnelle nette exercée sur un objet situé n'importe où à l'intérieur d'une fine coquille sphérique est nulle. Ce résultat peut paraître surprenant car, à l'extérieur de la coquille, la force gravitationnelle nette peut être considérée comme le résultat de la localisation de toute la masse au centre de la sphère.

    Plutôt que de faire une démonstration formelle nécessitant des calculs, nous allons fournir un argument de symétrie. Supposons que la masse de la Terre soit uniformément répartie et qu'elle soit sphérique. Mais il sera plus facile de la considérer comme unanneau de masse fist.

    Forces gravitationnelles Terre et Terre en forme d'anneau avec un point à l'intérieur StudySmarterFig. 3 - Considère que toute la masse de la Terre a été répartie uniformément en formant une circonférence.

    En considérant n'importe quel point à l'intérieur de celle-ci, nous pouvons toujours diviser l'anneau en deux régions en traçant un diamètre passant par le point et une ligne perpendiculaire à celui-ci.

    Forces gravitationnelles La Terre est modélisée comme un anneau divisé en deux régions StudySmarterFig. 4 - Nous divisons l'anneau en deux régions.

    Concentrons-nous sur la région 1 de la figure 6. Elle présente trois morceaux de masse en différents points : a, b, et c. Le point b est dans la direction du diamètre tracé précédemment, et a et c sont à la même distance de b. Tous ces morceaux de l'anneau ont la même masse. Les forces dues à ces morceaux de masse sont représentées respectivement par \ (\vec{F}_a, \space \vec{F}_b\), et \(\vec{F}_c\), . Comme la masse à la position b, est la plus proche de notre masse d'essai à l'intérieur de l'anneau, elle est plus importante que les autres. Comme a et b sont à la même distance de la masse d'essai, \(\vec{F}_a\), est égale en magnitude à \(\vec{F}_c\) et leurs composantes sont perpendiculaires à la direction de \(\vec{F}_b\) sont égales aussi, s'annulant l'une l'autre.

    Forces gravitationnelles force nette de la région 1 StudySmarterFig. 5 - La région 1 produit une force nette dans la direction de \(\vec{F}_b\). Il en va de même si l'on considère la partie correspondante de la coque sphérique.

    Pour tout point situé à droite de la masse b, , il existe un point correspondant situé à la même distance à gauche, et l'addition de leurs forces produit le même résultat. Par conséquent, pour toutes les forces dues aux morceaux de masse formant la région 1, seules les composantes dans la direction de \(\vec{F}_b\) resteront. En ajoutant toutes les contributions de la région 1, nous obtenons une force agissant dans la direction de \ (\vec{F}_b\). Nous pouvons extrapoler cette idée si nous considérons la section correspondante de la coquille. Pour chaque point qui n'est pas b, nous pouvons en trouver un autre sur cette partie de la coquille sphérique de telle sorte que leurs composantes perpendiculaires à \(\vec{F}_b\) s'annulent. La force gravitationnelle qui en résulte, \(\vec{F}_1\) serait dans la même direction.

    Par le même argument, nous pouvons conclure que la partie de la coquille correspondant à la région 2 exerce une force, \(\vec{F}_2\), dans la direction opposée.

    Forces gravitationnelles force nette de la région 2 StudySmarterFig. 6 - La région 2 génère une force nette égale et opposée à celle de la région 1.

    De plus, \(\vec{F}_2\) est égal en magnitude à \(\vec{F}_1\). C'est peut-être un peu difficile à croire étant donné qu'il y a plus de masse dans la Région 2. Cependant, les positions des morceaux de masse formant la région 2 sont globalement plus éloignées que celles de la région 1. La diminution de la force due à cette plus grande distance est telle qu'elle compense, rendant les deux forces égales en magnitude. Enfin, nous pouvons additionner ces forces :

    \[F_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0\].

    La force gravitationnelle nette à l'intérieur de la fine coquille sphérique est effectivement nulle.

    Nous pouvons aller plus loin et constater que l'épaisseur n'a pas vraiment d'importance. Nous pouvons considérer toute coquille épaisse comme étant formée de plusieurs couches de coquilles minces, toutes ayant un effet gravitationnel net nul. Dans ce cas, la force gravitationnelle nette exercée par la coquille épaisse est la somme des coquilles minces - zéro !

    Forces gravitationnelles modèle de coquille sphérique épaisse de la Terre StudySmarterFig. 7 - Représentation en coupe d'une coquille sphérique épaisse de la Terre. On peut considérer que cette coquille épaisse est composée de plusieurs coquilles minces.

    Ce résultat peut nous aider à comprendre ce qui se passe lorsque l'on creuse un tunnel. Lorsque nous creusons, l'effet gravitationnel net est la somme de l'effet gravitationnel de l'épaisse coquille sphérique que nous laissons derrière nous - qui est nul - et de l'effet gravitationnel de la portion sphérique de la Terre qui se trouve encore devant nous. Par conséquent, nous ne ressentons qu'une force de gravitation due à la partie sphérique qui se trouve devant nous.

    Les forces gravitationnelles creusent un tunnel à travers la Terre StudySmarterFig. 8 - Lorsque l'on creuse un tunnel dans la Terre, seule la masse de la sphère qui nous précède contribue à la force gravitationnelle nette que nous ressentons.

    Nous pouvons calculer l'effet gravitationnel de cette partie sphérique en considérant que la Terre a une distribution de masse uniforme (en réalité, la Terre est beaucoup plus dense près de son centre, il ne s'agit donc que d'une approximation). Nous pouvons définir une densité de masse constante, \ (\rho\), comme suit

    \[\rho = \frac{M_E}{V_E}\]

    ME etVE sont respectivement la masse et le volume de la Terre. En utilisant cette densité, nous pouvons exprimer la masse de la partie sphérique, M, en utilisant la formule pour le volume d'une sphère :

    \[M = \rho V = \rho \frac{4 \pi R^3}{3}\]

    Dans l'équation ci-dessus, R, est le rayon de la portion qui nous précède (la distance au centre de la Terre). Ainsi, la force gravitationnelle due à cette portion sphérique de la Terre sur une masse d'essai m est la suivante

    \[F_g = \frac{GMm}{R^2} = \frac{G}{R^2} \frac{4 \pi \rho R^3}{3} m = \frac{4 \pi G m \rho}{3}R\]

    Étonnamment, la force gravitationnelle ne dépend plus du carré de la distance par rapport au centre de la Terre. Une fois que nous sommes à l'intérieur de la Terre, la force gravitationnelle dépend linéairement de la distance à son centre. Cela ne signifie pas que la loi de Newton sur la gravitation n'y est pas valable. Nous calculons la force de la même manière. Cependant, lorsque nous diminuons la distance, la masse effective diminue proportionnellement à un facteur deR3.

    Ainsi, la force gravitationnelle est effectivement proportionnelle à R. Le graphique suivant montre la force gravitationnelle qu'une personne 70kg subirait en fonction de la distance par rapport au centre de la Terre.

    Forces gravitationnelles graphique du poids d'une personne de 70 kg en fonction de la distance au centre de la Terre StudySmarterFig. 9 - Une fois à l'intérieur de la Terre, la force gravitationnelle diminue linéairement à mesure que la distance par rapport au centre de la Terre diminue.

    C'est vraiment intéressant. Mais on ne sait toujours pas comment cette force peut provoquer les oscillations mentionnées au début. Nous pouvons résoudre ce mystère en comparant la forme de l'équation précédente à celle d'une force sur un ressort. L'ampleur de la force d'un ressort Fs est la suivante

    \[F_s = kx\]

    k est une constante liée à la rigidité du ressort et x est la distance par rapport à la position d'équilibre. Alors que l'équation de la force gravitationnelle sur une masse d'essai, m, à l'intérieur de la Terre est

    \[F_g = \frac{4 \pi G m \rho}{3} R\]

    Notez que si la masse est uniformément répartie, \(\frac{4 \pi G m \rho}{3}\) est également une constante, que nous pouvons représenter parkg. Les deux équations sont alors identiques dans leur forme.

    \[\N- F_s = kx \N- F_g = k_g R \Nend{align}\N]

    De plus, R, est la distance qui nous sépare du centre de la Terre. Une fois que nous avons creusé suffisamment pour atteindre R = 0 , la force gravitationnelle est 0. Et si nous continuons à creuser, la distance recommence à augmenter. Comme cette force nous attire toujours vers le centre de la Terre, R joue exactement le même rôle que x dans l'équation du ressort : R est la distance par rapport à un point d'équilibre.

    C'est pourquoi, si nous construisions un tunnel sur le diamètre de la Terre et que nous tombions dedans, nous oscillerions autour du centre de la Terre, tout comme le ferait une masse attachée à un ressort. Maintenant que tu sais que les deux équations de force ont exactement la même forme, il est plus facile de croire que le mouvement qu'elles produisent est le même.

    Prenons un autre exemple.

    Considérons une personne 70 kg qui creuse un tunnel. Si elle creuse \ (1.000 \cdot 10^5 m\) en traversant le diamètre de la Terre. Quelle est l'ampleur de la force gravitationnelle qu'elle ressentirait ? (Suppose que la masse de la Terre est répartie uniformément).

    Solution

    Le rayon de la Terre est \(r_E=6.371 \cdot 10^6m\), après avoir creusé \ (1.000 \cdot 10^5m\) la distance du centre de la Terre serait :

    \[R =6,371 \cdot 10^6m-1,000 \cdot 10^5m=6,271 \cdot 10^6m\].

    Nous avons défini la densité de la Terre mais nous ne l'avons pas calculée explicitement.

    \N- [\N- Début{align} \rho &= \frac{M_E}{V_E} \\N- &= \frac{M_E}{\frac{4}{3} \pi (R_E)^3} \N- &= \frac{5.972 \cdot 10^{24} kg}{\frac{4}{3} \pi (6.371 \cdot 10^6 m)^3} \\N- &= 5513 \frac{kg}{m^3} \N- [end{align}\N]

    Nous sommes maintenant prêts à utiliser la formule que nous avons trouvée pour la force gravitationnelle à l'intérieur de la Terre.

    \N- [\N- Début{align} F_g &= \frac{4 \pi Gm \rho}{3}R \frac{4 \pi (6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2})(70.0 kg)(5513 \frac{kg}{m^3})}{3} (6.271 \cdot 10^6 m) \nbsp;&= 676 N \end{align}\N]

    Après avoir creusé 100km, la personne ressent une force gravitationnelle de 676N.

    Similitudes et différences entre les forces électromagnétiques et gravitationnelles

    Il existe une symétrie entre l'équation de la force gravitationnelle \ (F_g\), et celle de la force électrostatique \ (F_e\).

    \[F_g = G \frac{m_1m_2}{r^2}\]

    \[F_e = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2}\]

    Ne t'inquiète pas de la signification de ces expressions. Pour l'instant, nous voulons seulement souligner leur ressemblance.

    Comme les deux interactions sont des forces sans contact, nous pouvons les modéliser à l'aide deschampsvectoriels . Cela signifie que nous pouvons considérer que l'effet de ces forces imprègne tout l'espace, avec une intensité différente en chaque point. Nous définissons donc un champ de vecteurs en spécifiant la force qu'un objet exercerait sur un objet test en chaque point.

    L'une des principales différences est que la gravité est une interaction entre des objets ayant une masse, alors que les forces électromagnétiques sont des interactions associées à des objets ayant des charges électriques, généralement en mouvement. Une autre différence est que la force gravitationnelle est uniquement attractive, alors que les forces électromagnétiques peuvent être à la fois attractives et répulsives.

    Il est important de noter que la force gravitationnelle est beaucoup plus faible que la force électrostatique. Réfléchis à cela. Nous pouvons utiliser un petit aimant pour en soulever un autre et travailler contre la force de gravité. Cependant, la force magnétique entre les petits aimants est suffisante pour surmonter la force gravitationnelle de la planète entière !

    J'espère que les différences sont claires. Mais nous avons encore beaucoup de choses à discuter, alors ne nous éloignons pas trop du sujet d'aujourd'hui et continuons en complétant les détails derrière la formule présentée ci-dessus.

    Champs gravitationnels - Principaux enseignements

    • La gravité est une question de masses qui s'attirent les unes les autres.
    • Un champ gravitationnel est un champ de force dans lequel un objet subit une force.
    • Seules les grandes masses, comme le soleil, la lune et les autres planètes, ont une force gravitationnelle importante.
    • Laloi de la gravitation de Newton est la suivante :

      \[F = G \cdot \frac{m_1m_2}{r^2}\]

    • La loi de la gravitation est une loi de l'inverse du carré, ce qui signifie que la force gravitationnelle diminue lorsque la distance entre les objets augmente.

    • L'intensité du champ gravitationnel est la force par unité de masse agissant sur un objet placé dans un champ gravitationnel.

    • Dans un champ radial, le champ gravitationnel peut être représenté comme suit :

      \[g = \frac{Gm}{r^2}\]

    Questions fréquemment posées en Champs gravitationnels
    Qu'est-ce qu'un champ gravitationnel ?
    Un champ gravitationnel est un espace autour d'un objet où sa force gravitationnelle peut être ressentie.
    Comment calcule-t-on le champ gravitationnel ?
    On calcule le champ gravitationnel en utilisant la formule g = G * M / r^2, où G est la constante gravitationnelle, M est la masse, et r est la distance.
    Quelle est la différence entre un champ gravitationnel et la gravité ?
    La gravité est la force d'attraction entre deux masses. Un champ gravitationnel décrit cette force dans l'espace autour d'une masse.
    Pourquoi le champ gravitationnel est-il important ?
    Le champ gravitationnel est important car il explique comment les objets interagissent sous l'influence de la gravité, influençant les mouvements planétaires et cosmologiques.

    Teste tes connaissances avec des questions à choix multiples

    La force agissant sur deux masses est directement proportionnelle aux :

    Qu'est-ce qu'un champ radial ?

    Comment la valeur de g varie-t-elle en fonction de la distance au centre d'une planète sphérique ?

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