Ondes périodiques

Définition des ondes périodiques

En physique, les ondes sont un type de transfert d'énergie causé par une perturbation initiale qui se propage ensuite dans l'espace et le temps. La taille de la perturbation définit l'amplitude de l'onde. Si une onde présente un schéma qui se répète continuellement, composé de cycles, comme des particules oscillant autour d'un point d'équilibre, nous l'appelons uneonde périodique . Les ondes périodiques ont plusieurs quantités clés par lesquelles elles peuvent être caractérisées, en fonction du temps et de la distance entre les cycles. La durée caractéristique de chaque cycle, exprimée en secondes , est appelée période de temps (T) de l'onde. Le nombre de cycles qui se produisent en une seconde est appeléfréquence (f) de l'onde et se mesure en hertz (\mathrm{Hz}\), ce qui équivaut à (\mathrm{s}^{-1}\). Par définition, la fréquence et la période d'une onde sont inverses.

\[f=\frac{1}{T}\]

Fig. 1 - Graphique d'une onde périodique, montrant comment le déplacement par rapport à l'équilibre varie dans le temps. Le graphique montre l'amplitude (A) et la période (T) de l'onde.

De même, la distance caractéristique parcourue pour un cycle est connue sous le nom de longueur d'onde \(\lambda\). La longueur d'onde est liée à la fréquence de l'onde par la vitesse \(v\) avec laquelle l'onde se propage dans l'espace.

\[v=f\lambda=\frac{\lambda}{T}\]

Fig. 2 - La longueur d'onde d'une onde périodique est définie comme la distance entre deux points équivalents de l'onde.

Ondes périodiques transversales et longitudinales

Les ondes périodiques peuvent être divisées en deux grands types d'ondes, selon la direction du déplacement que l'onde provoque. Les ondes longitudinales provoquent des oscillations qui sont parallèles à la direction du transfert d'énergie. Les ondes sonores et les ondes de stress dans les matériaux sont des exemples clés d'ondes longitudinales.

D'autre part, de nombreuses ondes périodiques sont telles que la direction de l'oscillation est perpendiculaire à la direction du transfert d'énergie. Par exemple, la lumière est un type de rayonnement électromagnétique causé par des champs électriques et magnétiques qui oscillent à angle droit par rapport à la direction dans laquelle la lumière se déplace.

Fig. 4 - Les ondes électromagnétiques sont un type d'onde transversale. Les champs électrique (E) et magnétique (B) oscillent perpendiculairement à la direction dans laquelle l'onde se déplace (z).

Impulsion ou onde périodique

Bien que cet article se concentre sur les ondes périodiques, il vaut la peine d'examiner brièvement les ondes a-périodiques connues sous le nom d'impulsions pour mettre en évidence les caractéristiques d'une onde périodique. Les impulsions sont un type très courant de transfert d'énergie en physique, causé par de courtes perturbations soudaines qui se propagent sous la forme d'une brève explosion d'énergie. Alors qu'une impulsion peut avoir des cycles comme une onde périodique, les impulsions ne contiennent généralement qu'un ou deux cycles, de sorte que nous ne pouvons pas définir correctement la longueur d'onde ou la fréquence d'une impulsion.

Fig. 5 - Nous pouvons modéliser les impulsions comme des pics aigus en mouvement, remarque qu'une impulsion ne contient pas d'oscillations.

Prenons l'exemple d'un caillou que l'on laisse tomber dans une piscine. La perturbation causée par le caillou entraînerait une ondulation de quelques vagues d'eau se déplaçant vers l'extérieur, mais peu de temps après avoir laissé tomber le caillou, l'eau reviendrait à l'équilibre et aucune autre vague ne serait produite. Nous disons que le caillou a produit des impulsions dans l'eau, mais si l'eau était continuellement perturbée, comme avec une machine à vagues, les ondes seraient périodiques.

La formule des ondes périodiques

Compte tenu de ce que nous savons jusqu'à présent sur les ondes périodiques, examinons comment nous pourrions représenter au mieux les ondes périodiques à l'aide de fonctions mathématiques. Comme nous l'avons vu, la période d'une onde est définie par sa longueur d'onde caractéristique ou période de temps. Considérons une onde périodique, avec une amplitude A et une longueur d'onde de \(\lambda\). Cela signifie que nous recherchons une fonction qui satisfait aux conditions suivantes.

\[\N-f(x)&=f(x+\Nlambda)\N-\Nmax |f(x)|&=A\Nend{align}\N]

Comme tu peux le deviner, les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont les fonctions que nous recherchons, étant donné qu'elles satisfont également à des conditions de périodicité similaires.

\[\sin(x)=\sin(x+2n\pi),\,\cos(x)=\sin(x+2n\pi)\]

Comme les fonctions sinus et cosinus peuvent être rendues équivalentes en ajoutant une phase de \(\frac{\pi}{2}\), nous choisissons simplement la fonction que nous voulons, en fonction des conditions initiales de l'onde. Comme nous pensons généralement que les vagues commencent par un déplacement maximal, nous allons considérer la fonction cosinus.

En choisissant intelligemment des facteurs d'échelle pour la fonction cosinus, nous pouvons satisfaire aux conditions requises

\[\N- Début{align}f(x)&=A\cos\Nleft(\frac{2\pi}{\lambda}x\Nright)\N\Nmax|f(x)|&=A\Nf(x+\lambda)&=A\cos\Nleft(\frac{2\pi}{\lambda}\Nleft(x+\lambda\Nright)\Ndroit)\N&=A\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x+2\pi\right)\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=A\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right)\\ xml-ph-0001@deepl.internal &=f(x)\end{align}\]

Ainsi, une onde périodique, d'amplitude \(A\) et de longueur d'onde \(\lambda\), à un instant fixe du temps \(t\), est décrite par la fonction

\[f(x)=A\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right)\]

En physique, la quantité \(\frac{2\pi}{\lambda}\) est appelée "nombre d'ondes angulaires", généralement noté \(k\).

En appliquant le même raisonnement, nous pouvons trouver la fonction décrivant l'oscillation d'un seul point de l'onde dans le temps. Si l'onde a une période de temps de \(T\) et une amplitude de \(A\), alors les oscillations en fonction du temps sont données par

\[\N- Début{align}h(t)&=A\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\Nright)\N-&=A\cos\left(2\pi f t\Nright)\N-&=A\cos\left(\omega t\Nright)\N- Fin{align}\N]

La quantité \(\omega=2\pi f\) est connue comme la fréquence angulaire de l'onde.

Exemples d'ondes périodiques