Champs vectoriels

Équations des champs vectoriels

Nous avons défini un champ vectoriel comme une fonction de l'espace, ce qui signifie qu'il faut s'attendre à des mathématiques. Les équations des champs vectoriels peuvent se présenter de différentes façons,car chaque fonction composante, ou équation correspondant à une dimension de l'espace, aura sa propre fonction séparée. Souviens-toi qu'un vecteur qui pointe tout droit le long (ou parallèlement) d'un axe est unidimensionnel : les vecteurs qui pointent vers la gauche ou la droite n'ont qu'une composante$x$, tandis que les vecteurs qui pointent vers le haut ou le bas n'ont qu'une composante$y$composante.

Cependant, les vecteurs qui ne pointentpasdroit ont un angle, que nous mesurons à partir de l'angle de la ligne de base ou de l'angle de la ligne de base.$x$ou$y$de l'axe. Nous pouvons diviser un vecteur bidimensionnel en ses composantes horizontale et verticale, ce qui nous donne deux nouveaux vecteurs :

Un vecteur bidimensionnel peut être divisé en deux vecteurs unidimensionnels distincts, StudySmarter Originals.

Les équations des champs de vecteursnesont pas très différentes : nous avons$x$et$y$mais au lieu de points statiques, nous avons des fonctions dans lesquelles nous pouvons insérer différentes valeurs. Cela nous permet d'examiner une quantité de vecteurs à n'importe quel point d'intérêt et de créer des graphiques de champs vectoriels.Mettonstout cela ensemble pour écrire une équation générale de champ vectoriel :

,

où$f(x,y)$est la fonction pour le composant$x$et$g(x,y)$est la fonction pour le$y$composant. Tu verras peut-être cette équation écrite avec des parenthèses au lieu de crochets d'angle, mais les deux représentent une équation de champ vectoriel constituée de fonctions composantes.

Représentation graphique des champs vectoriels

Voyonsun exemple à l'aide d'une équation de champ vectoriel en 2D.

Les fonctions des champs vectoriels peuvent également être tridimensionnelles ou même être des fonctions du temps, mais pour l'instant,nous nous en tiendrons aux fonctions et aux graphiques bidimensionnels.

Pour résumer, voici les points les plus importants à retenir sur les champs vectoriels.

• Les équations des champs vectoriels sont des fonctions multivariables de l'espace 2D ou 3D, ce qui signifie que an.$x$,$y$, et parfois$z$sont nécessaires.
• Les équations de champs vectoriels peuvent également être une fonction du temps.
• Les équations de champ vectoriel ont une fonction distincte pour chaque composante.
• Pour créer un graphique de champ vectoriel, choisis des coordonnées d'échantillon régulièrement espacées et insère les valeurs que tu as choisies dans la fonction de chaque composante vectorielle.$(x,y)$valeurs choisies dans la fonction de chaque composante du vecteur. Trace tes vecteurs une fois que tu en as assez pour te faire une idée de la forme générale du champ vectoriel.
• Les graphiques de champs vectoriels peuvent également être créés à l'aide d'une calculatrice graphique en fournissant les fonctions des composantes vectorielles. Une calculatrice graphique choisira des points d'échantillonnage régulièrement espacés pour les tracer.

Le champ vectoriel gravitationnel

L'une des applications physiques les plus importantes des champs vectoriels est la modélisation des forces à longue portée. Le champ vectoriel gravitationnel est la force à longue portée qui t'estprobablement la plus familière. Nous appelons la gravité uneforce à longue portée parce que c'est une force faible qui domine ou semble être la force principale à grande échelle.

La gravité est l'attraction universelle de toutes les masses les unes sur les autres, nous pouvons donc modéliser un champ gravitationnel autour de n'importe quelle masse, qu'il s'agisse d'une lune, d'une planète ou de n'importe quel objet plus petit ou plus grand. Comme la force gravitationnelle est un champ vectoriel, nous pouvons choisir de nombreux points différents dans l'espace pour examiner l'intensité ou la faiblesse de la force gravitationnelle sur une masse plus petite. Pour mieux comprendre, examinonsquelques graphiques qui visualisent le champ de vecteurs gravitationnels.

Une partie du champ de vecteurs gravitationnels en 2D et une représentation en 3D montrant l'énergie potentielle gravitationnelle. La magnitude des vecteurs près de la masse centrale montre la plus grande force d'attraction exercée, Creative Commons CC0 1.0

Dans ce diagramme, nous avons à la fois un tracé de champ de vecteurs gravitationnels en deux dimensions et un puits de gravité en trois dimensions. Au centre du plan$xy$plan, nous avons une masse avec un champ gravitationnel qui l'entoure - par exemple, il pourrait s'agir de la Terre. Les flèches représentent la direction et l'ampleur de la force gravitationnelle exercée sur une masse test plus petite - disons un petit objet rocheux, beaucoup plus petit que la Terre. Tous les vecteurs du tracé bidimensionnel pointent directement vers la masse centrale : c'est la nature attractive de la gravité. Prête attention à l'ampleur des flèches des vecteurs. Plus notre petit objet rocheux est proche de la Terre, plus la force gravitationnelle exercée est importante. L'intensité de la force diminue à mesure que la distance entre les deux masses augmente.

Après avoir examiné le tracé du champ vectoriel en deux dimensions, regarde la visualisation du puits de gravité et vérifie que cela a du sens pour toi. Imagine que la Terre est centrée au fond de ce puits - là encore, la force gravitationnelle exercée sur des masses plus petites est la plus forte dans l'espace le plus proche de la Terre. La forme du puits de gravité souligne à quel point l'attraction gravitationnelle est plus forte lorsque la distance diminue.

L'équation du champ vectoriel gravitationnel

L'équation du champ de vecteurs gravitationnels peut être écrite à l'aide de la loi de la gravitation universelle de Newton:

$\overrightarrow{F}\left(r\right)=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$,

où$G$est la constante gravitationnelle,$m_1$et$m_2$sont les deux masses, et$r$est la distance entre les centres des deux masses. Cette équation nous donne la force gravitationnelle exercée par un objet de masse$m_1$sur un second objet de masse$m_2$Cette équation nous donne la force gravitationnelle exercée par un objet ayant une masse sur un second objet ayant une masse, comme l'attraction de la Terre sur la Lune. Tu peux aussi voir cette équation sous la forme suivante :

$\overrightarrow{F}\left(r\right)\propto \frac{GM}{r^2}$,

où$M$est la masse de l'objet avec le champ de vecteurs gravitationnels que nous modélisons. C'est une façon d'exprimer que la force du champ gravitationnel est inversement proportionnelle au carré de la distance par rapport à la masse centrale.$M$.

Types de champs vectoriels

Il existe deux types de champs de vecteurs dans un espace réel à deux dimensions. Le premier type est appelé champ radial.

Les champs radiaux sont symétriques par rapport à la rotation, ce qui signifie que le champ vectoriel aura la même apparence après une rotation du champ autour de son centre. Les champs de vecteurs gravitationnels sont un exemple de champs radiaux. Tous les vecteurs pointent directement vers l'origine, ou centre de masse, en raison de la nature attractive de la gravité.

L'attraction gravitationnelle est un exemple de champ vectoriel radial puisque tous les vecteurs de force pointent vers l'origine, Creative Commons CC0 1.0.

Le deuxième type de champ vectoriel est appelé champ de rotation ou champ de vortex.

Un champ de rotation peut être utilisé pour modéliser l'écoulement des fluides ou les événements météorologiques majeurs, comme les ouragans.

Les ouragans, un exemple de champ tourbillonnaire, montrent la forme tourbillonnaire des champs de vecteurs rotatifs, Creative Commons CC0 1.0