Formules de somme et de différence d'angles

Démonstration de la somme et de la différence des fonctions cosinus

Différence des fonctions cosinus

Considère la figure ci-dessous :

Figure 1 : Une image montrant l'utilisation de la position standard d'un cercle unitaire pour prouver la différence des fonctions cosinus, - StudySmarter Originals

La figure ci-dessus est prise dans la position standard d'un cercle unitaire. Si a est l'angle ∠PON et b l'angle ∠QON, alors l'angle ∠POQ est (a - b) . Par conséquent , $\cos a$ est la composante horizontale du point P et$\sin a$est sa composante verticale. Tandis que$\cos b$est la composante horizontale du point Q et $\sin b$ est sa composante verticale. Ainsi, pour trouver la distance PQ, nous utiliserons la formule de la distance entre deux points.

$d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

Où dans le point P, $(x_2,y_2)$ est$(\cos a,\sin a)$ et au point Q, $(x_1,y_1)$ est$(\cos b,\sin b)$. Ainsi, le point P est et le point Q est .

$$\begin{gathered} PQ=\sqrt{(cosa-cosb{)}^2+(sina-sinb{)}^2} \\ P{Q}^2=(cosa-cosb{)}^2+(sina-sinb{)}^2 \\ P{Q}^2=co{s}^{2}a-2cosacosb+co{s}^{2}b+si{n}^{2}a-2sinasinb+si{n}^{2}b \end{gathered}$$

Réarrange l'équation

$P{Q}^2=co{s}^{2}a+si{n}^{2}a+co{s}^{2}b+si{n}^{2}b-2cosacosb-2sinasinb$

Rappelle-toi :

$co{s}^2\theta +si{n}^2\theta =1;so,co{s}^{2}a+{\sin }^{2}a=1andsi{n}^{2}b+{\cos }^{2}b=1$

Ensuite :

$$\begin{gathered} P{Q}^2=1+1-2cosacosb-2sinasinb \\ P{Q}^2=2-2cosacosb-2sinasinb \end{gathered}$$

Si l'angle ( a-b) était replacé dans la position standard d'un cercle unitaire allant de l'origine O au point S dans la figure ci-dessous

Figure 2 : Une image de l'angle (a-b) en train d'être retracé, - StudySmarter Originals

Ensuite, la distance SN de la figure 2 (qui est égale à la distance PQ de la figure 1) peut être dérivée par rapport à l'angle ( a-b) et aux points correspondants dans S (cos (a-b), sin(a-b) ) et N (1 , 0).

Utilisation

$d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

Où le point S est $(x_2,y_2)$ et N est $(x_1,y_1)$alors

$$\begin{gathered} SN=\sqrt{(\cos {(a-b)-1)}^2+(\sin {(a-b)-0)}^2} \\ S{N}^2=(\cos {(a-b)-1)}^2+(\sin {(a-b)-0)}^2 \\ S{N}^2={\cos }^2(a-b)-2\cos (a-b)+1+{\sin }^2(a-b) \end{gathered}$$

Réarrange et rapproche les termes similaires

$S{N}^2={\cos }^2(a-b)+{\sin }^2(a-b)-2\cos (a-b)+1$

Rappelle-toi que

$co{s}^2\theta +si{n}^2\theta =1;so,co{s}^2(a-b)+{\sin }^2(a-b)=1$

alors ;

$$\begin{gathered} S{N}^2=1-2\cos (a-b)+1 \\ S{N}^2=2-2\cos (a-b) \end{gathered}$$

Rappelle-toi que

$PQ=SN$

alors

$P{Q}^2=S{N}^2$

Ainsi

$2-2\cos (a-b)=2-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b$

Résous l'algèbre en soustrayant 2 des deux côtés de l'équation.

$-2\cos (a-b)=-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b$

Divise les deux côtés par -2 des deux côtés

$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

Somme des fonctions cosinus

$cos(a+b)=\cos (a-(-b\left)\right)$

Ainsi, remplace la valeur de b par -b dans l'équation.

Note que

$\cos (-b)=\cos b$

et

$\sin (-b)=-\sin b$

donc

$$\begin{gathered} \cos (a+b)=\cos a\cos (-b)+\sin a\sin (-b) \\ \cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \end{gathered}$$

Démonstration de la somme et de la différence des fonctions sinusoïdales

Somme des fonctions sinusoïdales

Dessine un triangle rectangle ABC comme indiqué ci-dessous.

Une image d'un triangle droit, - StudySmarter Originals

Trace une autre ligne coupant A et touchant la ligne BC en D, de telle sorte que l'angle BAD soit β et l'angle DAC soit α, comme on le voit ci-dessous.

Trace une ligne perpendiculaire au point D qui touche la ligne AB en E comme indiqué ci-dessous.

Trace une ligne à partir du point E qui est perpendiculaire à la ligne AC, coupe la ligne AD en F et rencontre la ligne AC en G comme indiqué ci-dessous.

Trace une ligne allant du point D au point H sur la ligne EG qui est perpendiculaire à la ligne EG comme indiqué ci-dessous.

Note que pour chaque étape ci-après, tu dois te référer à la figure ci-dessus.

Par conséquent

Utilisation de SOHCAHTOA

$\sin (\alpha +\beta )=\frac{EG}{AE}$

Note que la ligne EG = EH + HG, donc

$$\begin{gathered} \sin (\alpha +\beta )=\frac{EH+HG}{AE} \\ \sin (\alpha +\beta )=\frac{EH}{AE}+\frac{HG}{AE} \end{gathered}$$

Rappelle ;

$HG=DC$

Ainsi

$\sin (\alpha +\beta )=\frac{EH}{AE}+\frac{DC}{AE}$

Vois que

$\angle DAC=\angle FDH$

Note ci-dessous

$\angle DAC=\angle FDH=\alpha$

Rappelle-toi que la ligne AD est perpendiculaire à la ligne ED. Par conséquent

$\angle HDE=90°-\alpha$

Sachant que

$\angle EHD=90°$

donc

$\angle HED+90°+90°-\alpha =180°$

$\angle HED+180°-180°=\alpha$

$\angle HED=\alpha$

En regardant leurs angles, cela signifie que les triangles ADC et EDH sont similaires. voir ci-dessous

Une image qui prouve la somme des sinus des angles, StudySmarter Originals

À partir du triangle rectangle EDH

$$\begin{gathered} \cos \alpha =\frac{EH}{ED} \\ EH=ED\cos \alpha \end{gathered}$$

Rappelle-toi que

$\sin (\alpha +\beta )=\frac{EH}{AE}+\frac{DC}{AE}$

Substitue la valeur de EH

$$\begin{gathered} \sin (\alpha +\beta )=\frac{ED\cos \alpha }{AE}+\frac{DC}{AE} \\ \sin (\alpha +\beta )=(\frac{ED}{AE}\times \cos \alpha )+\frac{DC}{AE} \end{gathered}$$

En attendant, à partir du triangle rectangle AED, en utilisant SOHCAHTOA

$\sin \beta =\frac{ED}{AE}$

Substitue la valeur de $\frac{ED}{AE}$ dans l'équation

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \beta \cos \alpha +\frac{DC}{AE}$

A partir du triangle rectangle ADC, à l'aide de SOHCAHTOA

$$\begin{gathered} \sin \alpha =\frac{DC}{AD} \\ DC=AD\sin \alpha \end{gathered}$$

Substitue la valeur de DC dans l'équation

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \beta \cos \alpha +\frac{AD\sin \alpha }{AE}$

Regarde le triangle rectangle AED et utilise SOHCAHTOA

$\cos \beta =\frac{AD}{AE}$

Substitue la valeur de$\frac{AD}{AE}$ dans l'équation

$$\begin{gathered} \sin (\alpha +\beta )=\sin \beta \cos \alpha +\cos \beta \sin \alpha \\ \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha \end{gathered}$$

Différence de ses fonctions

Sachant que

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha$

Ainsi $\sin (\alpha -\beta )$ peut être dérivé en échangeant β avec -β tout au long de l'équation.

Par conséquent

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos (-\beta )+\sin (-\beta )\cos \alpha$

Note que

$\cos (-\beta )=\cos \beta$

et

$\sin (-\beta )=-\sin \beta$

donc

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha$

Démonstration de la somme et de la différence des fonctions tangentes

Somme des fonctions tangentes

Rappelle-toi que

$\tan \varnothing =\frac{\sin \varnothing }{\cos \varnothing }$

Par conséquent

$\tan (A+B)=\frac{\sin (A+B)}{\cos (A+B)}$

Par conséquent

$\tan (A+B)=\frac{\sin A\cos B+\sin B\cos A}{\cos A\cos B-\sin A\sin B}$

Divise chaque entité du côté droit de l'équation par cosAcosB

$$\begin{gathered} \tan (A+B)=\frac{\frac{\sin A\cos B}{\cos A\cos B}+\frac{\sin B\cos A}{\cos A\cos B}}{\frac{\cos A\cos B}{\cos A\cos B}-\frac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}} \\ \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B} \end{gathered}$$

Différence des fonctions tangentes

Rappelle-toi que

$\tan \varnothing =\frac{\sin \varnothing }{\cos \varnothing }$

Par conséquent

$\tan (A-B)=\frac{\sin (A-B)}{\cos (A-B)}$

Ainsi

$\tan (A-B)=\frac{\sin A\cos B-\sin B\cos A}{\cos A\cos B+\sin A\sin B}$

Divise chaque entité du côté droit de l'équation par cosAcosB

$$\begin{gathered} \tan (A-B)=\frac{\frac{\sin A\cos B}{\cos A\cos B}-\frac{\sin B\cos A}{\cos A\cos B}}{\frac{\cos A\cos B}{\cos A\cos B}+\frac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}} \\ \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B} \end{gathered}$$

Application de la somme et de la différence des formules

Tu verras ci-dessous comment appliquer les formules de somme et de différence.