Rapports trigonométriques

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous, trouve le côté marqué x.

Pythagore - Exemple de recherche de l'hypoténuse, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Commençons par étiqueter chacun des côtés a, b et c :

Le théorème de Pythagore stipule que $a^2+b^2=c^2$.

En substituant $a=3,b=4,c=x$ dans ce résultat, nous obtenons $9+16=x^2$ou$x^2=25$.

Par conséquent, pour trouver x, il suffit de prendre la racine carrée des deux côtés. Ainsi , $x=5cm$.

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous, trouve le côté marqué x.

Solution :

Commençons par étiqueter chacun des côtés a, b et c :

Cet exemple est légèrement différent du précédent car cette fois-ci, nous ne trouvons pas l'hypoténuse, c. Par conséquent, nous devons utiliser une version réarrangée du théorème de Pythagore : $b^2=c^2-a^2$. En remplaçant $a=2,b=x$ et $c=5$ dans cette formule, nous obtenons $x^2=5^2-2^2=25-4=21$. Il suffit donc de faire la racine carrée des deux côtés pour obtenir que $x=\sqrt{21}=4.58cm$ (2.d.p).

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve le côté marqué x.

Trigonométrie - Exemple : trouver le côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Commençons par étiqueter chacun des côtés O, A et H.

L'étape suivante consiste à déterminer lesquels des trois côtés sont concernés. Ce que nous voulons dire par là, c'est quels sont les côtés que nous connaissons ou que nous souhaitons connaître. Dans cet exemple, nous savons que l'hypoténuse est $3cm$ et nous voulons connaître le côté adjacent, $xcm$. Ainsi, les deux côtés concernés sont le côté adjacent et l'hypoténuse. Ensuite, nous devons identifier le rapport trigonométrique qui implique le côté adjacent et l'hypoténuse. Dans ce cas, il s'agit de cos, car cos est la seule identité qui implique à la fois le côté adjacent et l'hypoténuse. En substituant $\theta =42,A=x,H=3$ dans $\cos \left(\theta \right)=\frac{A}{H}$nous obtenons $\cos \left(42\right)=\frac{x}{3}$.

Il ne nous reste plus qu'à faire quelques réarrangements pour trouver x. Nous pouvons le faire en multipliant les deux côtés par 3,$x=3\cos \left(42\right)$. Nous obtenons la réponse finale en la tapant sur notre calculatrice. Ainsi , $x=2.23cm.$

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve le côté marqué x.

Trigonométrie - Exemple : trouver le côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Commençons par étiqueter chacun des côtés O, A et H.

Dans ce cas, nous connaissons l'hypoténuse et nous souhaitons connaître le côté opposé. Nous utilisons donc sin puisque le sinus est le seul rapport trigonométrique impliquant l'hypoténuse et le côté opposé.

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve le côté marqué x.

Trigonométrie - Exemple : trouver le côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Commençons par étiqueter chacun des côtés O, A et H.

Dans ce cas, nous connaissons le côté adjacent et nous souhaitons connaître l'hypoténuse. Nous utilisons donc cos.

Puisque $\cos \left(\theta \right)=\frac{A}{H}$ nous avons $\cos \left(51\right)=\frac{8}{x}$.

Maintenant, pour réarranger ceci, nous devons d'abord multiplier les deux côtés par x pour obtenir $x\cos \left(51\right)=8$. Ensuite, pour trouver x, nous divisons les deux côtés par $\cos \left(51\right)$ pour obtenir $x=\frac{8}{\cos \left(51\right)}=12.7cm$(3.s.f).

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve le côté marqué x.

Trigonométrie - Exemple : trouver le côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Commençons par étiqueter chacun des côtés O, A et H.

Dans ce cas, nous connaissons le côté opposé et nous souhaitons connaître le côté adjacent. Nous utilisons donc tan.

Puisque $\tan \left(\theta \right)=\frac{O}{A}$ nous avons que $\tan \left(30\right)=\frac{3}{x}$. En multipliant les deux côtés par x, on obtient $x\tan \left(30\right)=3$. En divisant les deux côtés par$\tan \left(30\right)$ on obtient $x=\frac{3}{\tan \left(30\right)}=5.20cm$ (3.s.f).

A l'aide de ta calculatrice, trouve ${\sin }^{-1}(0.1),{\cos }^{-1}(0.1)$ et ${\tan }^{-1}(0.1)$.

Solution :

${\sin }^{-1}(0.1)=shift+\sin (0.1)=5.{74}^{°}$(3.s.f)

${\cos }^{-1}(0.1)=shift+\cos (0.1)=84.3^{°}$ (3.s.f)

${\tan }^{-1}(0.1)=shift+\tan (0.1)=5.{71}^{°}$ (3.s.f)

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve l'angle étiqueté $\theta$.

Trigonométrie - Exemple de recherche d'un angle manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Pour trouver les angles manquants, les étapes sont à peu près les mêmes que précédemment. Cependant, il y a une petite différence. Comme précédemment, commençons par étiqueter chacun des côtés O, A et H.

Maintenant, nous devons à nouveau identifier les côtés concernés. Dans ce cas, nous connaissons le côté adjacent et l'hypoténuse. Puisque le cos implique l'adjacent et l'hypoténuse, nous utilisons le cosinus.

Puisque$\cos \left(\theta \right)=\frac{A}{H}$nous avons $\cos \left(\theta \right)=\frac{1.2}{3}$.

Cette fois, pour obtenir theta par lui-même, nous devons prendre l'inverse du cosinus des deux côtés.

Par conséquent, notre réponse est $\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{1.2}{3}\right)=66.4^{°}$ (3.s.f).

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve l'angle étiqueté $\theta$.

Trigonométrie - Exemple de recherche d'un angle manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

En étiquetant les côtés, nous pouvons voir que nous avons le côté opposé et l'hypoténuse. C'est pourquoi nous utilisons le sinus.

Depuis$\sin \left(\theta \right)=\frac{O}{H}$nous avons $\sin \left(\theta \right)=\frac{2.8}{5.2}$

Pour obtenir $\theta$ par lui-même, nous devons prendre l'inverse du sinus des deux côtés. Ainsi , $\theta ={\sin }^{-1}\left(\frac{2.8}{5.2}\right)=32.6^{°}$ (3.s.f).

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve le côté marqué x.

(question non calculatoire)

Trigonométrie - Exemple : trouver le côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Puisque nous voulons connaître le côté opposé et que nous avons le côté opposé, nous allons utiliser le sinus.

Puisque $\sin \left(\theta \right)=\frac{O}{H}$nous avons $\sin \left(30\right)=\frac{x}{2}$.

En réarrangeant, nous trouvons que $x=2\sin \left(30\right)$.

En utilisant le tableau 1, nous voyons que $\sin \left(30\right)=\frac{1}{2}$

Ainsi , $x=2\times \frac{1}{2}=1cm.$

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve l'angle étiqueté $\theta$.

(question non calculatoire)

Solution :

Puisqu'on nous a donné les côtés opposés et adjacents, nous utilisons tan.

Puisque $\tan \left(\theta \right)=\frac{O}{A}$, nous avons que $\tan \left(\theta \right)=\frac{6.3}{6.3}=1$.

Pour obtenir $\theta$ par lui-même, nous devons prendre l'inverse de tan des deux côtés.

Ainsi , $\theta ={\tan }^{-1}\left(1\right)$

En utilisant le tableau 1, nous voyons que $\tan \left(45\right)=1$et donc $\theta ={45}^{°}$.