Équations cinématiques

Considère la question que nous avons posée plus tôt et dans laquelle nous avons fait tomber nos clés. Ignore la résistance de l'air et suppose une hauteur de \(135;\text{cm}\). Tes clés tombent de l'endroit où elles se trouvent dans ta main. Combien de temps faut-il pour que les clés touchent le sol ?

La première étape de la résolution de tout problème de physique consiste à dessiner un diagramme comprenant toutes les informations pertinentes.... Dans ce cas, nous avons un diagramme assez simple. Nous avons une hauteur \ (135;\text{cm}\), une vitesse initiale de \ (0;\text{m}/\text{s}\), et nous supposons que l'accélération est due à la gravité de la Terre.

Schéma du problème de la chute des clés, StudySmarter Originals

Nous pouvons maintenant appliquer notre formule. Nous avons déjà une vitesse initiale, un déplacement et une accélération. Nous aimerions résoudre la question du temps. Nous pouvons donc utiliser l'équation cinématique quadratique :

\[x = x_0 + v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2.\N].

Nous l'appliquons d'abord à notre mouvement dans la direction \(y\), puis nous la réarrangeons pour obtenir une équation du temps en termes de nos variables données.

\N- [\N- Début{align} y &= v_{y0}t + \Nfrac{1}{2}a_yt^2 \N- 0 &= \Nfrac{1}{2}a_yt^2 + v_{y0}t - y.\NFin{align}\N]

Nous pouvons reconnaître la dernière ligne comme un cas d'équation quadratique. Applique la formule quadratique pour résoudre \(t\N). Rappelle-toi que les racines de la formule quadratique sont

\[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4Ac}}{2A}\]

où \ (A\), \ (b\), et \ (c\)sont nos coefficients. Note qu'ici, nous avons écrit une majuscule à \ (A\) pour ne pas confondre le coefficient quadratique avec l'accélération. Ensuite, nous pouvons introduire nos coefficients :

\[\begin{align}t_{1,2} &= \frac{-(v_{y0}) \pm \sqrt{(v_{y0})^2 - 4\left(\frac{1}{2}a_y\right)(-y)}}{2\left(\frac{1}{2}a_y\right)}\= \frac{-v_{y0} \pm \sqrt{v_{y0}^2 + 2a_yy}}{a_y}\end{align}\]

Nous pouvons maintenant introduire nos valeurs numériques :

\[t_{1,2} = \frac{-(0 \text{m}/\text{s}) \pm \sqrt{(0 \text{m}/\text{s})^2 + 2\cdot (9.8 \text{m}/\text{s}^2)(1.35 \text{m})}}{9.8 \text{m}/\text{s}^2}.\]

En simplifiant ce qui précède, on obtient

\[\begin{align} t_{1,2} &= \pm \frac{\sqrt{26,46 \;\text{m}^2/\text{s}^2}}{9,8 \;\text{m}/\text{s}^2}\N &= \pm \frac{5.14 \;\text{m}/\text{s}}}{9,8 \;\text{m}/\text{s}^2}\\ &= \pm 0,52 \;\text{s}.\N-nd{align}\N]

Note que nous avons deux solutions : \N(t_1 = -0,52 \N;\Ntext{s}\N) et \N(t_2 = 0,52 \N;\Ntext{s}\N). Cependant, seule l'une d'entre elles a un sens physique, nous écartons donc le temps négatif et nous nous retrouvons avec notre réponse.

\N- [\N-Boxed{t = 0,52 \N ; \N-text{s}.}]

Il faut à nos clés \(0,52\) secondes pour toucher le sol. En guise de dernière vérification, assure-toi toujours que la réponse a un sens physique. Si nous avions obtenu une solution d'une heure, nous saurions que quelque chose ne va pas. Par contre, une demi-seconde a un sens physique. Nous savons donc d'emblée que nous n'avons pas commis d'erreur grave.

Ensuite, nous allons nous pencher sur un problème plus difficile. Supposons qu'au lieu de laisser tomber tes clés, tu les jettes à un ami. Il se trouve à \(4\;\text{m}\) de distance et tu lances les clés à un angle de \(30^{\circ}\). À quelle vitesse dois-tu lancer les clés pour qu'elles atteignent ton ami ?

Comme toujours, la première étape consiste à dessiner un diagramme avec toutes les informations pertinentes.

Diagramme pour un problème de mouvement de projectile en deux dimensions, StudySmarter Originals

Il s'agit d'un problème plus difficile, alors décomposons-le en problèmes plus simples. La première chose à faire est de réaliser que nous avons affaire à une direction \ (x) et à une direction \ (y), et que ces deux directions sont indépendantes l'une de l'autre, de sorte que nous pouvons les traiter séparément.

Considérons d'abord la direction \ (y\)-. Note que nous devrons décomposer notre vitesse initiale en ses composantes. Pour la composante \ (y\)-, nous utilisons la trigonométrie pour obtenir

\N[v_{y0} = v_y\sin(\Nthêta).\N]

Considérons maintenant que les touches s'élèvent. À leur apogée, elles changent de direction, ce qui nous donne une vitesse finale de

\N[v_{y} = 0 \N;\Ntext{m}/\Ntext{s}.\N]

Maintenant, nous appliquons ces informations aux équations cinématiques.

\[\N- Début{alignement}v_y &= v_{y0} + a_yt_r \\N0 &= v_0\sin(\theta) + a_yt_r \Nv_0 &= \frac{-a_yt_r}{\sin(\theta)}. \N- [Fin{align}\N]

Nous avons mis en indice \(t\) avec un \(r\) pour nous rappeler qu'il s'agit seulement du temps qu'il faut pour atteindre le sommet pendant qu'il s'élève. Pour connaître le temps total passé en l'air, nous devons le doubler.

\[\N- Début{align}t &= 2t_r \N- T_r &= \Nfrac{1}{2}t. \N- Fin{align}\N]

En substituant ceci, nous obtenons une équation pour notre vitesse initiale en termes de \(t\N) :

\[v_0 = \frac{-a_yt}{2\sin(\theta)}.\]

Voyons si nous pouvons trouver \ (t\N) en utilisant la direction \N (x\N). Dans la direction \ (x\), aucune force n'agit sur notre objet. La gravité n'agit que dans la direction \N (y\N). Cela signifie que notre accélération est de \ (0 \;\text{m}/\text{s}^2\). Ainsi

\N- [\N- Début{aligned}v_x &= v_{x0} + a_xt \N- &= v_{x0}.\NFin{aligned}]

Comme notre vitesse dans la direction \ (x\) ne change pas, nous pouvons laisser tomber l'indice de la vitesse initiale. Nous introduisons ces informations et voyons si nous pouvons résoudre \N(t\N).

\[\begin{aligned}x &= x_0 + v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2 \\ &= 0 + v_xt + 0 \\ &= v_xt.\end{aligned}\]

En utilisant à nouveau la trigonométrie, nous obtenons que la composante \(x\) de notre vitesse est

\[v_x = v_0\cos(\theta),\]

ce qui nous permet de résoudre la question de \N(t) en termes de \N(v_0) :

\[\begin{aligned}x &= v_xt \\ &= v_0\cos(\theta)t \\ t &= \frac{x}{v_0\cos(\theta)}.\end{aligned}\]

Ensuite, nous revenons en arrière et nous ajoutons ceci à notre équation de vitesse :

\[\begin{aligned} v_0 &= \frac{-a_yt}{2\sin(\theta)}\ &= \frac{-a_y}{2\sin(\theta)}\cdot \frac{x}{v_0\cos(\theta)}.\end{aligned}\]

Notez que nous avons \(v_0\) des deux côtés, nous pouvons donc le multiplier du côté gauche et prendre la racine carrée :

\[\begin{aligned} v_0^2 &= \frac{-a_yx}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}\ v_0 &= \pm \sqrt{\frac{-a_yx}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}}.\n- end{aligned}\]

Voici notre équation, en termes de variables connues, pour la vitesse initiale avec laquelle nous devons lancer nos clés pour qu'elles atteignent notre ami. Note que l'accélération due à la gravité est négative d'après notre choix de coordonnées, donc la valeur sous la racine carrée ne posera pas de problème. Enfin, nous introduisons nos chiffres.

\[\begin{aligned} v_0 &= \pm \sqrt{\frac{-a_yx}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}\\N- \pm \sqrt{\frac{-(-9.8 \N;\text{m}/\text{s}^2)\cdot 4 \N;\text{m}}{2\sin(30^\circ)\cos(30^\circ)} }} \N- &= \Npm \N-sqrt{\Nfrac{39.2\N;\Ntext{m}^2/\Ntext{s}^2}{2\Ncdot 0.5 \Ncdot 0.87}} \N- &= \Npm \Nsqrt{45.5 \N;\Ntext{m}^2/\Ntext{s}^2} \N- &= \Npm 6,7 \N;\Ntext{m}/\Ntext{s}.\Nend{aligned}\N]

Ici, nous pouvons écarter la valeur négative car nous savons qu'elle n'a pas de sens physique dans cette situation. Notre valeur finale est donc

\N-[\Nboxed{v_0 = 6,7\N;\Ntext{m}/\Ntext{s}}.\N]

Nous devons lancer nos clés sur \(6.7\;\text{m}/\text{s}\) pour qu'elles atteignent notre ami.

Un dernier exemple. Considérons un problème qui nécessite l'équation cinématique indépendante du temps. Supposons que tu descendes à ski une colline dont l'angle d'inclinaison est de \(30^\circ;\). Tu pars du repos au sommet et tu accélères à un taux de \(0,5\;\text{m}/\text{s}^2\). Si ta vitesse finale est de \(9\;\text{m}/\text{s}\), quelle est la hauteur de la colline ?Comme d'habitude, nous commençons par faire un dessin.

Configuration du problème du skieur sur une pente pour l'équation cinématique indépendante du temps, StudySmarter Originals.

Ensuite, nous disposons de toutes les informations nécessaires pour appliquer notre formule, alors introduisons les chiffres.

$$\begin{aligned} v_x^2 &= v_{x0}^2+2a_x(x-x_0) \\N- (9\;\text{m}/\text{s})^2 &= (0\;\text{m}/\text{s})^2 + 2\cdot 0.5\;\text{m}/\text{s}^2(x-x_0) \\N- x-x_0 &= \frac{(9\;\text{m}/\text{s})^2}{2\cdot 0.5\;\text{m}/\text{s}^2} \\N- x-x_0 &= \Nfrac{81\N;\N-text{m}^2/\N-text{s}^2}{2cdot 0.5\N;\N-text{m}/\N-text{s}^2} \\N- x-x_0 &= 81\N;\Ntext{m}\Nend{aligned}$$

Remarque que cette distance correspond à la distance parcourue le long de la colline, mais nous cherchons la hauteur de la colline, nous devons donc utiliser un peu de trigonométrie pour obtenir notre réponse finale.

$$\begin{aligned} \sin(30^\circ) &= \frac{h}{81\\N;\text{m}} \\N- h &= 81\N;\N-text{m}\Ncdot\Nsin(30^\circ) \N- h &= 40.5\N;\N-text{m}\N-end{aligned}$$

La hauteur finale de la colline est donc

$$\boxed{h=40.5\;\text{m}}$$