Maintenant que nous avons établi les principales différences entre l'optique géométrique et l'optique physique, appliquons ces connaissances à quelques exemples de problèmes !
L'une des applications de l'optique géométrique est l'obtention et l'analyse des images formées par des lentilles minces.
Tout d'abord, examinons la lentille convergente visible sur la figure 3 ci-dessous, et trouvons l'image que cette lentille formerait !
Fig. 3 - L'optique géométrique appliquée à une lentille convergente.
Solution
Pour localiser l'image formée par cette lentille convexe, nous devons tracer un diagramme de rayons. Il faut utiliser au minimum deux rayons pour trouver leur point d'intersection, indiquant le point le plus haut de l'image (le point le plus bas sera sur l'axe principal puisque c'est là que l'objet est posé). Tout d'abord, nous devons connaître quelques principes de base que nous pouvons suivre et qui nous indiqueront comment dessiner la trajectoire des rayons lumineux passant par la lentille :
- Les rayons parallèles à l'axe principal traverseront toujours la lentille de manière à passer par le foyer de la lentille.
- Les rayons colinéaires à l'axe principal ne seront pas réfractés par la lentille car ils sont incidents perpendiculairement à la surface de la lentille. Ces rayons passent en ligne droite et lisse, par le centre de la lentille, interceptant l'axe optique à angle droit, avant de passer par le foyer de la lentille.
Dessinons donc :
- Lerayon 1 parallèle à l'axe principal jusqu'à ce qu'il atteigne l'axe optique, puis tout droit à travers le foyer \(F\).
- Le rayon2 passant directement par le centre de la lentille, là où l'axe optique et l'axe principal se croisent.
comme le montre la figure 4 ci-dessous.
Lorsqu'un rayon lumineux passe par le centre d'une lentille, il ne subit aucune réfraction ; le rayon se déplace donc en une seule ligne droite et lisse. Pour les autres rayons, dans ce cas, nous avons choisi de dessiner un rayon de lumière parallèle, qui se réfracte au niveau de l'axe optique et passe par le foyer. Cependant, nous aurions également pu dessiner un rayon passant par le foyer du côté de l'objet, où la lumière se réfracterait et continuerait parallèlement à l'axe principal de l'autre côté de la lentille.
Fig. 4 - Le diagramme des rayons d'une lentille convergente.
Ce diagramme de rayons nous fournit de nombreuses informations sur l'image obtenue. Par exemple, nous pouvons voir qu'elle est retournée ou inversée, ainsi qu'elle apparaît plus petite que l'objet lui-même, ou autrement dit, qu'elle est diminuée. Puisque l'image est inversée, nous pouvons en conclure qu'elle est également réelle.
Les imagesréelles peuvent être projetées sur un écran car elles se forment sur le côté opposé de l'objet, alors que les images virtuelles ne le peuvent pas car elles se forment derrière une lentille.
Toutes ces caractéristiques dépendent du type d'objectif utilisé et de l'emplacement de l'objet par rapport au foyer de l'objectif. Ainsi, s'il s'agissait d'une lentille concave, l'image serait virtuelle et droite.
Deuxièmement, disons que l'objet de la figure \Nest haut de \N(3\N,\Nmathrm{cm}\N) et qu'il est situé à \N(16,0\N,\Nmathrm{cm}\N) de la lentille avec une longueur focale de \N(6,00\N,\Nmathrm{cm}\N). Calcule la hauteur de l'image et la distance à laquelle elle se forme par rapport à la lentille !
Solution
Pour trouver la distance de l'image \(s_\mathrm{o}\), nous pouvons utiliser l'équation suivante :
$$\frac{1}{s_\mathrm{i}}+\frac{1}{s_\mathrm{o}}=\frac{1}{f}.$$
En réarrangeant l'équation de la lentille mince et en introduisant nos valeurs de distance de l'objet et de longueur focale, nous obtenons
\begin{align} \frac{1}{s_\mathrm{i}}&=\frac{1}{f}-\frac{1}{s_\mathrm{o}} \\frac{1}{s_\mathrm{i}}&=\frac{1}{6.00 \N-\frac{1}{16.0 \N-\frac{1}{16.0 \N-\N-\frac{1}{16.0 \N-\frac{1}{mathrm{cm}} \\ \frac{1}{s_\mathrm{i}}&= 0.104\,\mathrm{cm} \N- {s_\mathrm{i}}&= 9,62 \N- \N- \Nmathrm{cm}. \Nend{align}
La valeur positive de la distance de l'image confirme les résultats de notre diagramme de rayons : l'image est située du côté opposé de la lentille et est inversée.
Nous pouvons maintenant utiliser l'équation du grossissement
$$M=\frac{h_\mathrm{i}}{h_\mathrm{o}}=\frac{-s_\mathrm{i}}{s_\mathrm{o}}$$
pour trouver la hauteur de cette image. On nous a donné la hauteur de l'objet et la distance de l'objet, et la distance de l'image a été calculée à l'aide de l'équation de la lentille mince, ce qui nous donne
\begin{align} h_\mathrm{i}&=\frac{-s_\mathrm{i} \, h_\mathrm{o}}{s_\mathrm{o}} \N- h_\Nmathrm{i}&= -\Nfrac{(9,62 \Nmathrm{cm})(3 \Nmathrm{cm})}{(16,0 \Nmathrm{cm})} \\N- h_\Nmathrm{i}&=-1,80 \Nmathrm{cm},\Nend{align}
où le signe négatif implique que l'image est inversée (comme nous l'avons établi plus tôt à l'aide du diagramme des rayons).
Examinons maintenant un exemple de problème appliquant les concepts de l'optique physique.
Une lumière monochromatique d'une longueur d'onde de \(610 \, \mathrm{nm}\) tombe normalement sur un réseau de diffraction avec \(100\) lignes par \(\mathrm{mm}\). Trouve l'angle du maximum de troisième ordre.
Solution
Tout d'abord, nous devons calculer la distance de séparation \(d\) entre les fentes. On nous dit qu'il y a \(N=100\N) lignes dans chaque millimètre, ce qui, converti en unités SI, équivaut à \N(10^{5}\N) lignes dans chaque mètre, et nous pouvons donc utiliser l'équation suivante
\begin{align} d&=\frac{1}{N} \Nd&=\frac{1}{10^5 \N, \frac{\Ntext{lines}}{\mathrm{m}}}=10^{-5} \N- \NMathrm{m}. \Nend{align}
Pour trouver l'angle \(\theta\) du troisième ordre (\(m=3\)), nous réarrangeons l'équation d'interférence.
$$ d\sin\theta=m\lambda$$$
et introduisons nos valeurs :
\begin{align} \sin\theta_3 &= \frac{m\lambda}{d} \\ \sin\theta_3 &= \frac{(3) (610\times 10^{-9} \, \cancel{\mathrm{m}})}{\left (10^{-5} \, \cancel{\mathrm{m}} \right )} \\ \sin\theta_3 &=0.183 \\N- \Ntheta_3 &= \Nsin^{-1}(0,183)=10,5^{\circ}. \Nend{align}
L'angle du maximum de troisième ordre est donc égal à \(10,5^{\circ}\).
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